Auf dieser Seite findet ihr einen Induktionsbeweis der Bernoullischen Ungleichung (auch Bernoulli-Ungleichung).
Für alle natürlichen Zahlen n und alle reellen x ≥ -1 gilt die sogenannte
Bernoulli-Ungleichung: (1 + x)n ≥ 1 + n·x
Wir beweisen die Bernoulli-Ungleichung durch vollständige Induktion:
Induktionsanfang n = 1
(1 + x)1 ≥ 1 + 1·x
Induktionsannahme
Für ein beliebiges n gelte (1 + x)n ≥ 1 + n·x.
Induktionsschritt von n auf n+1
(1 + x)n+1
= (1 + x)n · (1 + x)
≥ (1 + n·x) · (1 + x)
= 1 + x + nx + nx2
= 1 + (n + 1)x + nx2
≥ 1 + (n + 1)x
Nach dem Induktionsprinzip gilt die Bernoulli-Ungleichung damit als bewiesen ◊