In diesem Beitrag geht es um wichtige und häufig verwendete Beziehungen zwischen Sinus, Cosinus und Tangens. Außer den entsprechenden Formeln findet ihr Beispiele für die Anwendung der Beziehungen.
Beziehungen zwischen Sinus, Cosinus, Tangens
Für jeden Winkel α mit 0° ≤ α ≤ 90° gilt:
sin α = cos (90° – α)
cos α = sin (90° – α)
sin2α + cos2α = 1
tan α = sin α / cos α
tan (90° – α) = 1 / tan α
Beispiele für die Anwendung der Beziehungen zwischen Sinus, Cosinus, Tangens
Beispiel 1:
Es sei cos α = 4/5. Gesucht sind sin α und tan α!
Aus sin2α + cos2α = 1 folgt
sin2α = 1 – cos2α = 1 – 16/25 = 9/25 und damit
sin α = 3/5 .
Es ist tan α = sin α / cos α = 3/5 / 4/5 und damit
tan α = 3/4 .
Beispiel 2:
Es sei sin α = 6/10. Gesucht sind cos α und tan α!
Aus sin2α + cos2α = 1 folgt
cos2α = 1 – sin2α = 1 – 36/100 = 64/100 und damit
cos α = 8/10 .
Es ist tan α = sin α / cos α = 6/10 / 8/10 und damit
tan α = 6/8 .
Beispiel 3:
Bei einer Berechnung soll auf den Term cos α verzichtet werden und dieser nur mit Hilfe von sin α ausgedrückt werden!
Aus sin2α + cos2α = 1 folgt
cos2α = 1 – sin2α und daraus
cos α = √(1 – sin2α) .
Anstelle von cos α kann nun in den Berechnungen jedes mal der Term √(1 – sin2α) verwendet werden.