Äquivalenzumformungen für Ungleichungen

Dieser Beitrag erklärt euch die sogenannten Äquivalenzumformungen für Ungleichungen und zeigt euch an Beispielen wie sie funktionieren.

Das Lösen einer Ungleichung bedeutet im Allgemeinen, diese durch schrittweises Umformen zu vereinfachen. Jede Art von Umformung, die eine Ungleichung in eine dazu äquivalente Ungleichung umwandelt, nennt man eine Äquivalenzumformung oder äquivalente Umformung.

Dabei ist folgendes vereinbart:

Zwei Ungleichungen sind genau dann zueinander äquivalent, wenn sie über ihrem (gemeinsamen) Grundbereich die gleiche Lösungsmenge besitzen.

Die im Folgenden beschriebenen vier Formen von Umformungen gehören zu den Äquivalenzumformungen:

Typ I:  Zusammenfassung gleichartiger Glieder, die auf derselben Seite einer Ungleichung stehen

Gleichartige Glieder sind jeweils
– Glieder, die keine Variablen enthalten,
– Glieder, die die gleichen Variablen in der gleichen Potenz enthalten.

Beispiele für Äquivalenzumformungen vom Typ I bei Ungleichungen:

3 + x + 5 < 4x   wird durch Zusammenfassung zu   8 + x < 4x

3x3 – x3 < 5   wird zu   2x3 < 5

Typ II:  Addition oder Subtraktion ein und derselben Zahl oder ein und desselben Vielfachen von Variablen (bzw. gleicher Potenzen dieser Variablen) auf beiden Seiten der Ungleichung

Beispiele für Äquivalenzumformungen vom Typ II bei Ungleichungen:

x + 5 > 2   wird durch Subtraktion von 5 auf beiden Seiten zu   x > -3

-xy2 + 2x + 2 > -3xy2   wird durch Addition von 3xy2 auf beiden Seiten zu   2xy2 + 2x + 2 > 0

Typ III:  Multiplikation oder Division ein und derselben positiven Zahl auf beiden Seiten der Ungleichung

Beispiele für Äquivalenzumformungen vom Typ III bei Ungleichungen:

2x > 42   wird durch Division mit 2 auf beiden Seiten zu   x > 21

0,25x + 4 > -2   wird durch Multiplikation mit 4 auf beiden Seiten zu   x + 16 > -8

Typ IV:  Multiplikation oder Division ein und derselben negativen Zahl auf beiden Seiten der Ungleichung mit Umkehrung des Relationszeichens

-2x > -42   wird durch Division mit -2 auf beiden Seiten zu   x < 21

-0,25x – 4 > 2   wird durch Multiplikation mit -4 auf beiden Seiten zu   x + 16 < -8

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