Bernoulli-Ungleichung – Beweis durch vollständige Induktion

Auf dieser Seite findet ihr einen Induktionsbeweis der Bernoullischen Ungleichung (auch Bernoulli-Ungleichung).

Für alle natürlichen Zahlen n und alle reellen x ≥ -1 gilt die sogenannte
Bernoulli-Ungleichung:   (1 + x)n ≥ 1 + n·x

Wir beweisen die Bernoulli-Ungleichung durch vollständige Induktion:

Induktionsanfang n = 1

(1 + x)1 ≥ 1 + 1·x

Induktionsannahme

Für ein beliebiges n gelte (1 + x)n ≥ 1 + n·x.

Induktionsschritt von n auf n+1

(1 + x)n+1

= (1 + x)n · (1 + x)

≥ (1 + n·x) · (1 + x)

= 1 + x + nx + nx2

= 1 + (n + 1)x + nx2

≥ 1 + (n + 1)x

Nach dem Induktionsprinzip gilt die Bernoulli-Ungleichung damit als bewiesen ◊

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