Beziehungen zwischen Sinus, Cosinus, Tangens

In diesem Beitrag geht es um wichtige und häufig verwendete Beziehungen zwischen Sinus, Cosinus und Tangens. Außer den entsprechenden Formeln findet ihr Beispiele für die Anwendung der Beziehungen.

Beziehungen zwischen Sinus, Cosinus, Tangens

Für jeden Winkel α mit 0° ≤ α ≤ 90° gilt:

sin α = cos (90° – α)
 
cos α = sin (90° – α)
 
sin2α + cos2α = 1
 
tan α = sin α / cos α
 
tan (90° – α) = 1 / tan α

Beispiele für die Anwendung der Beziehungen zwischen Sinus, Cosinus, Tangens

Beispiel 1:

Es sei cos α = 4/5. Gesucht sind sin α und tan α!

Aus sin2α + cos2α = 1 folgt

sin2α = 1 – cos2α = 1 – 16/25 = 9/25 und damit

sin α = 3/5 .

Es ist tan α = sin α / cos α = 3/5 / 4/5 und damit

tan α = 3/4 .

Beispiel 2:

Es sei sin α = 6/10. Gesucht sind cos α und tan α!

Aus sin2α + cos2α = 1 folgt

cos2α = 1 – sin2α = 1 – 36/100 = 64/100 und damit

cos α = 8/10 .

Es ist tan α = sin α / cos α = 6/10 / 8/10 und damit

tan α = 6/8 .

Beispiel 3:

Bei einer Berechnung soll auf den Term cos α verzichtet werden und dieser nur mit Hilfe von sin α ausgedrückt werden!

Aus sin2α + cos2α = 1 folgt

cos2α = 1 – sin2α und daraus

cos α = √(1 – sin2α) .

Anstelle von cos α kann nun in den Berechnungen jedes mal der Term √(1 – sin2α) verwendet werden.

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