Chi Quadrat Anpassungstest – Würfel Beispiel

In diesem Beitrag geht es darum zu zeigen, wie man mit einem Chi Quadrat Anpassungstest prüfen kann, ob ein Würfel unverfälscht ist oder nicht.

Der zu untersuchende Würfel wurde 500 mal geworfen und es ergab sich die folgende Häufigkeitsverteilung für die Augenzahlen 1, 2, 3, 4, 5 und 6:

Augenzahl i 1 2 3 4 5 6
absolute Häufigkeit ni 75 78 96 103 77 71

Mit einem Chi Quadrat Anpassungstest wird für ein Signifikanzniveau von α=1% getestet, ob die Stichprobe für oder gegen eine Gleichverteilung der sechs Augenzahlen spricht.

Nullhypothese H0: für i=1,…,6 ist pi = P({Augenzahl=i}) = 1/6
 
Alternativhypothese H1: für i=1,…,6 ist pi = P({Augenzahl=i}) ≠ 1/6

Unter der Voraussetzung, dass die Nullhypothese zutrifft, ergibt sich für jede Augenzahl i eine hypothetische absolute Häufigkeit von

n0i = 500 · 1/6 = 83⅓

Die Testvariable ist damit

Z = \sum\limits_{i=1}^6 \cfrac{ (N_i-83.333\ldots)^2 }{ 83.333\ldots }

wobei die Ni die Zufallsvariablen sind, die die empirische absolute Häufigkeit der Augenzahlen i wiedergeben.

Z ist Chi Quadrat verteilt mit 5 Freiheitsgraden und man erhält aus einer Tabelle der Chi Quadrat Verteilung für α = 1% = 0,01 aus P(Z ≤ c) = 1 – α = 0,99

c = 15,09

Für die vorliegende Stichprobe ergibt sich mit den festgestellten absoluten Häufigkeiten ni ein Testwert

\hat{Z} = \sum\limits_{i=1}^6 \cfrac{ (n_i-83.333\ldots)^2 }{ 83.333\ldots } = 10,048

Es ist 10,048 ≤ 15,09 und somit darf man davon ausgehen, dass der Würfel unverfälscht ist!

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