Wahrscheinlichkeitsraum, diskreter

(S, E, P) heißt Diskreter Wahrscheinlichkeitsraum, wenn folgendes gilt:

1) S ist eine nichtleere, abzählbare Menge,
2) E = 2S ist die Potenzmenge von S,
3) P ist eine Abbildung von E in [0 ; 1] mit
  a) P(A) ≥ 0 für jedes A ∈ E
  b) P(S) = 1
  c) P(A1 ∪ A2 ∪ …) = P(A1) + P(A2) + …
    für jede Folge paarweise disjunkter Mengen A1, A2, … aus E.

Die Menge S nennt man Ergebnismenge oder Ausgangsraum.

Die Menge E = 2S ist die Menge aller Teilmengen von S und wird in diesem Zusammenhang auch als Ereignissystem bezeichnet.

Die Abbildung P nennt man Wahrscheinlichkeitsmaß auf S bzw. auf E.

Mit [0 ; 1] ist das abgeschlossene Intervall von Null bis Eins gemeint, also alle reellen Zahlen y mit 0 ≤ y ≤ 1.

Zwei Mengen A und B heissen disjunkt, wenn sie keine gemeinsamen Elemente haben, d.h. A∩B=∅.

Beispiel:

Das Zufallsexperiment Werfen eines homogenen Würfels lässt sich mathematisch durch den diskreten Wahrscheinlichkeitsraum (S, E, P) mit

S := {1, 2, 3, 4, 5, 6}

E := 2S

P : E → [0 ; 1], P(A) = |A|/6 für alle A ∈ E

beschreiben (|A| bedeutet die Anzahl der Elemente in A).

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