In diesem Beitrag wird erklärt, was man in der Sekundarstufe unter Gleichungen versteht.
Werden zwei Terme durch ein Gleichheitszeichen mit einander verbunden, so nennt man das eine Gleichung.
Beispiele für mathematische Gleichungen:
| 44 – 2 = 42 |
| (1+2)·3 = 4 |
| 2x = 10 |
| ax2 + bx + c = 0 |
Gleichungen, in denen keine Variablen vorkommen, sind Aussagen (entweder wahre oder falsche).
Beispiele für Gleichungen, die Aussagen sind:
| 44 – 2 = 42 | Diese Gleichung repräsentiert eine wahre Aussage. |
| (1+2)·3 = 4 | Diese Gleichung stellt eine falsche Aussage dar. |
Gleichungen, in denen wenigstens eine Variable vorkommt, sind Aussageformen.
Beispiele für Gleichungen, die Aussageformen sind:
| 2x = 10 |
| ax2 + bx + c = 0 |
Als Grundmenge G bezeichnet man diejenige Menge von Elementen, die für die Variablen in eine Gleichung eingesetzt werden dürfen.
Die Grundmenge zu einer Gleichung kann nach Belieben vereinbart werden. In der Regel handelt es sich um IR (reelle Zahlen) oder IQ (rationale Zahlen).
Beispiele Gleichungen/Grundmengen:
| 2x = 10 | Über der Grundmenge G = IR hat diese Gleichung die einzige Lösung x = 5. |
| 2x = 10 | Über der Grundmenge G = {-1, -2, -3, …}, der Menge aller negativen ganzen Zahlen, hat diese Gleichung keine Lösung. |
Als Lösung einer Gleichung bezeichnet man jede Zahl, die durch das Ersetzen der vorkommenden Variable, die Gleichung zu einer wahren Aussage macht.
Entsprechendes gilt bei mehreren unterschiedlichen Variablen, die in der Gleichung vorkommen für Zahlentupel.
Beispiele für Lösungen von Gleichungen:
| 13x = 26 | Über IR ist x = 2 einzige Lösung der Gleichung. |
| 0·x = 0 | Über IR ist jedes x aus IR eine Lösung der Gleichung. |
| y = 2x + 1 | Über IR2 hat diese Gleichung unendlich viele Lösungen, z.B. ist (x;y) = (3;7) eine davon. |
Die Lösungsmenge L einer Gleichung ist diejenige Teilmenge der Grundmenge G dieser Gleichung, die alle Lösungen der Gleichung enthält.
| 13x = 26 | L = { 2 } |
| 0·x = 0 | L = IR |
| y = 2x + 1 | L = { (x;y) ∈ IR2 | 2x – y + 1 = 0 } |
| x2 = -1 | L = { } (über IR) |
Das zweite und das vierte Beispiel in der Tabelle geben Anlass zu zwei weiteren Definitionen:
Eine Gleichung wird als allgemeingültig über ihrer Grundmenge bezeichnet, wenn jedes Element der Grundmenge auch eine Lösung der Gleichung ist.
| 0·x = 0 | G = IR = L |
Eine Gleichung wird als nicht erfüllbar über ihrer Grundmenge bezeichnet, wenn kein Element der Grundmenge eine Lösung der Gleichung ist.
| x2 = -1 | G = IR , L = { } |