Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit

Was bedeuten die Begriffe Lineare Abhängigkeit und Lineare Unabhängigkeit einer Menge von Vektoren? In diesem Beitrag gibt es die Definitionen, Eigenschaften und Beispiele dazu.

Definition Lineare Unabhängigkeit

Eine Teilmenge M eines Vektorraums V heißt linear unabhängig, wenn
für jeden Vektor v ∈ M gilt:   Lin ( M\{v} ) ≠ Lin M .

Das heißt also für jeden Vektor v ist der von M\{v} erzeugte Unterraum eine echte Teilmenge des von M erzeugten Unterraums.

Definition Lineare Abhängigkeit

Eine Teilmenge M eines Vektorraums V heißt linear abhängig, wenn sie nicht linear unabhängig ist.

 
Bei einer endlichen Menge von Vektoren {v1, … , vn} verzichtet man auch auf die Darstellung als Menge und spricht dann eben einfach von der linearen Abhängigkeit bzw. Unabhängigkeit der Vektoren v1, … , vn.

Beispiele

Die leere Menge ist nach Definition eine linear unabhängige Teilmenge eines jeden Vektorraums V.

Jede Teilmenge M eines Vektorraums V, die den Nullvektor enthält ist linear abhängig:
Es gilt dort nämlich Lin ( M\{0} ) = Lin M (der Nullvektor 0 kann die Bedingung aus der Definition für lineare Unabhängigkei nicht erfüllen).

{ (1,0) , (0,1) } ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem des IR2.

Dagegen ist { (1,0) , (0,1) , (3,4) } ein linear abhängiges Erzeugendensystem des IR2, denn man könnte jeweils einen der Vektoren (1,0) , (0,1) oder (3,4) entfernen und erhielte immer noch ein Erzeugendensystem für den IR2.

Folgerung

An den Definitionen und dem letzten Beispiel lässt sich folgendes erkennen:

Ist M eine Teilmenge eines Vektorraums V, dann gilt für jeden Vektor v aus V:
Aus v ∈ Lin M und v nicht in M   folgt   ( M U {v} ) ist linear abhängig.

0 als nicht-triviale Linearkombination von Vektoren

Ist V ein K-Vektorraum mit Nullvektor 0, dann nennt man 0 eine nicht-triviale Linearkombination von Vektoren v1, … , vn ∈ V, genau dann wenn es Skalare a1, … , an ∈ K gibt mit
a1·v1 + … + an·vn = 0 und mindestens ein ai ≠ 0.

Charakterisierung der Linearen Unabhängigkeit bzw. Abhängigkeit

Vektoren v1, … , vn eines Vektorraums V sind genau dann linear unabhängig, wenn der Nullvektor nur als triviale Linearkombination der Vektoren v1, … , vn darstellbar ist.
D.h. aus a1·v1 + … + an·vn = 0 folgt stets alle ai sind gleich Null.

Eine Teilmenge M eines Vektorraums V ist genau dann linear unabhängig, wenn entweder M die leere Menge ist oder wenn jede endliche Anzahl paarweise verschiedener Vektoren aus M linear unabhängig ist.

Eine Teilmenge M eines Vektorraums V ist genau dann linear abhängig, wenn es mindestens eine nicht-triviale Linearkombination des Nullvektors von paarweise verschiedenen Vektoren v1, … , vn aus M gibt.

Beispiel

Um also zu prüfen, ob z.B. die Vektoren (1,0,0), (0,3,4) und (-1,3,4) linear abhängig oder unabhängig sind, hat man einfach festzustellen ob es eine nicht-triviale Darstellung von 0 = (0,0,0) gibt oder nicht.

Dies ist gleichbedeutend mit der Untersuchung der Lösbarkeit des folgenden homogenen Gleichungssystems
Homogenes Gleichungssystem
Fände man hier nur die triviale Lösung (x1,x2,x3) = (0,0,0), so hieße das, besagte Vektoren sind linear unabhängig. Tatsächlich sind diese Vektoren aber linear abhängig.

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