Eine lineare Gleichung mit n Unbekannten ist eine Gleichung der Form
a1x1 + a2x2 + … + anxn = b mit festen reellen Zahlen a1, a2, … , an, b.
So kann z.B. jede Gerade der xy-Ebene als lineare Gleichung der Form
mit den Unbekannten x, y ausgedrückt werden.
Beispiele für lineare Gleichungen:
-2x + y = -1
3x = -y – 21
-y = 13 + 7x
½x – 2y + 4z = 0
-x1 + 2x2 – 3x3 + 4x2 = -5
Die folgenden Gleichungen sind keine linearen Gleichungen:
x + 2y3 = 6
2x + 3y – 4z – xz = -14
y – cos(x) = 0
2x1 – x2 – √x3 = 1
Man nennt n Zahlen s1, s2, … , sn eine Lösung der linearen Gleichung
a1x1 + a2x2 + … + anxn = b, wenn die besagte lineare Gleichung durch die Substitution x1 = s1, x2 = s2, … , xn = sn zu einer wahren Aussage wird.
Die Menge aller Lösungen einer linearen Gleichung nennt man die Lösungsmenge oder allgemeine Lösung der linearen Gleichung.