Lineare Gleichungen – Lösungsmenge bestimmen

Dieser Artikel zeigt Dir an Beispielen wie man die Lösungsmenge oder allgemeine Lösung einer linearen Gleichung bestimmen kann.

ax = b

Dies ist die einfachste Form einer linearen Gleichung. Sie enthält nur eine einzige Unbekannte x.
Die einzige Lösung ist einfach x = b/a.
Dies setzt natürlich voraus, dass a ungleich Null ist.
(Für den Fall, dass a = 0 ist, hätte man die Gleichung 0x = b, also 0 = b vor sich, in der es gar keine Unbekannte, also auch nichts zu lösen gäbe!)

3x = 27        man erhält x = 27/3 = 9
4x = -60       man erhält x = -60/4 = -15
5x = 0          man erhält x = 0/5 = 0

 

2x – 4y = 1

Um die Lösungsmenge dieser Gleichung zu bestimmen, weist man der Unbekannten x einen beliebigen Wert t zu und löst dann die Gleichung nach der anderen Unbekannten y auf:

x = t
y = 0,5t – 0,25

Damit ist { (t ; 0,5t – 0,25) | t ∈ IR } die Lösungsmenge dieser Gleichung.

Eine spezielle Lösung erhält man unter Verwendung eines konkreten t. Z.B. t=0,5. Dies ergibt x = 0,5 und y = 0, was obige lineare Gleichung löst, wie eine Probe ergibt.

 

x1 – 3x2 + 8x3 = 4

Um die Lösungsmenge der Gleichung zu bestimmen, weist man jetzt den beiden Unbekannten x2 und x3 beliebige Werte s und t zu und löst dann nach x1 auf:

x2 = s
x3 = t
x1 = 3s – 8t + 4

Die Lösungsmenge der Gleichung lautet also
{ (3s – 8t + 4 ; s ; t) | s ∈ IR, t ∈ IR }.

Für s = 1 und t = 0 erhält man die spezielle Lösung x1 = 7, x2 = 1, x3 = 0.

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