Ungleichungen

In diesem Beitrag wird erklärt, was man in der Sekundarstufe unter Ungleichungen versteht.

Werden zwei Terme durch eines der folgenden Zeichen mit einander verbunden, so nennt man das eine Ungleichung:
< kleiner als,
≤ kleiner gleich,
> größer als,
≥ größer gleich,
≠ ungleich.

Beispiele für mathematische Ungleichungen:

0 < 1

1 + x ≤ 99

x2 + y2 > 1

7 ≥ 5 + 2

x ≠ 42

Ungleichungen, in denen keine Variablen vorkommen, sind Aussagen (entweder wahre oder falsche).

Beispiele für Ungleichungen, die Aussagen sind:

44 – 2 ≠ 42 Diese Ungleichung repräsentiert eine falsche Aussage.
(1+2)·3 > 0 Diese Ungleichung stellt eine wahre Aussage dar.

Ungleichungen, in denen wenigstens eine Variable vorkommt, sind Aussageformen.

Beispiele für Ungleichungen, die Aussageformen sind:

3x < 9
y ≥ x – 7

Als Grundmenge G bezeichnet man diejenige Menge von Elementen, die für die Variablen in eine Ungleichung eingesetzt werden dürfen.

Die Grundmenge einer Ungleichung kann man nach Belieben vereinbaren. In der Regel handelt es sich um IQ (rationale Zahlen) oder IR (reelle Zahlen).

Beispiele Ungleichungen/Grundmengen:

2x < 10 Über der Grundmenge G = IN hat diese Gleichung die Lösungen 1, 2, 3, und 4.
3x < 12 Über der Grundmenge G = IR hat diese Gleichung unendlich viele Lösungen, nämlich alle reellen Zahlen x mit x < 4.

Lösung einer Ungleichung nennt man jede Zahl, die durch das Ersetzen der vorkommenden Variable, die Ungleichung zu einer wahren Aussage macht.

Entsprechendes gilt bei mehreren unterschiedlichen Variablen, die in der Ungleichung vorkommen für Tupel von Zahlen.

Beispiele für Lösungen von Ungleichungen:

13x ≥ 26 Über IR sind alle x ≥ 2 Lösungen dieser Ungleichung.
0·x < 0 Über IR hat diese Ungleichung keine Lösung.
y ≠ 2x + 1 Über IR2 hat diese Ungleichung unendlich viele Lösungen, z.B. ist
(x;y) = (1; 3,00001) eine davon.

Die Lösungsmenge L einer Ungleichung ist diejenige Teilmenge der Grundmenge G dieser Ungleichung, die alle Lösungen der Ungleichung enthält.

13x ≥ 26 L = { x ∈ IR | x ≥ 2 }
0·x < 0 L = { }
y ≠ 2x + 1 L = { (x,y) ∈ IR2 | 2x – y + 1 < 0 oder 2x – y + 1 > 0 }

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