Dieser Beitrag erklärt euch die sogenannten Äquivalenzumformungen für Gleichungen und zeigt euch an Beispielen wie sie funktionieren.
Das Lösen einer Gleichung bedeutet im Allgemeinen, diese durch schrittweises Umformen zu vereinfachen. Jede Art von Umformung, die eine Gleichung in eine dazu äquivalente Gleichung umwandelt, nennt man eine Äquivalenzumformung oder äquivalente Umformung.
Dabei ist folgendes vereinbart:
Zwei Gleichungen sind genau dann zueinander äquivalent, wenn sie über ihrem (gemeinsamen) Grundbereich die gleiche Lösungsmenge besitzen.
Die im Folgenden beschriebenen vier Formen von Umformungen gehören zu den Äquivalenzumformungen:
Typ I: Zusammenfassung gleichartiger Glieder, die auf derselben Seite einer Gleichung stehen
Gleichartige Glieder sind jeweils
– Glieder, die keine Variablen enthalten,
– Glieder, die die gleichen Variablen in der gleichen Potenz enthalten.
Beispiele für Äquivalenzumformungen vom Typ I:
2 + x + 5 = 4x wird durch Zusammenfassung zu 7 + x = 4x
2x2 – x2 = 4 wird zu x2 = 4
Typ II: Addition oder Subtraktion ein und derselben Zahl oder ein und desselben Vielfachen von Variablen (bzw. gleicher Potenzen dieser Variablen) auf beiden Seiten der Gleichung
Beispiele für Äquivalenzumformungen vom Typ II:
x + 5 = 2 wird durch Subtraktion von 5 auf beiden Seiten zu x = -3
-xy2 + x + 1 = -3xy2 wird durch Addition von 3xy2 auf beiden Seiten zu 2xy2 + x + 1 = 0
Typ III: Multiplikation oder Division ein und derselben, von Null verschiedenen Zahl auf beiden Seiten der Gleichung
Beispiele für Äquivalenzumformungen vom Typ III:
2x = 42 wird durch Division mit 2 auf beiden Seiten zu x = 21
0,25x + 8 = -1 wird durch Multiplikation mit 4 auf beiden Seiten zu x + 32 = -4
Typ IV: Vertauschen von rechter und linker Seite der Gleichung
Beispiele für Äquivalenzumformungen vom Typ IV:
y = 42 ist äquivalent zu 42 = y
(x + 5)·(x – 7) = 0 ist äquivalent zu 0 = (x + 5)·(x – 7)