Koordinatengleichung in Parametergleichung

Auf dieser Seite geht es darum, wie sich eine gegebene Koordinatengleichung einer Ebene in eine vektorielle Parametergleichung dieser Ebene umwandeln lässt.

Zwei Möglichkeiten wollen wir uns hier ansehen und zwar die Methode über die Drei-Punkte-Gleichung und die Methode der Direkten Parametrisierung.

Gegeben sei also eine Ebene E in Koordinatenform:

2x + 3y + 4z = -5

Methode 1 – Drei-Punkte-Gleichung

Bei dieser Methode gewinnen wir zunächst aus der Koordinatenform drei Punkte A, B, C und bilden daraus eine Parametergleichung der Ebene.

Wir setzen x = y = 0 und erhalten z = -5/4 und damit A (0 ; 0 ; -5/4).
Wir setzen x = z = 0 und erhalten y = -5/3 und damit B (0 ; -5/3 ; 0).
Wir setzen y = z = 0 und erhalten x = -5/2 und damit C (-5/2 ; 0 ; 0).

Mit den drei Punkten lässt sich eine Parametergleich besagter Ebene problemlos aufbauen. Die Parametergleichung ausgedrückt mit den Punkten A, B und C lautet

Koordinatengleichung in Parametergleichung 01

bzw. mit den entsprechenden Zahlenwerten

Koordinatengleichung in Parametergleichung 02

also schließlich

Koordinatengleichung in Parametergleichung 03

 
Kommen wir nun zu einer weiteren Methode, um die Koordinatengleichung 2x + 3y + 4z = -5 in eine Parametergleichung zu überführen.

Methode 2 – Direkte Parametrisierung

Wir setzen direkt x auf r und y auf s und stellen die Koordinatengleichung nach z um:

x = r
y = s
 
2r + 3s + 4z = -5
4z = -5 – 2r – 3s
z = -1,25 – 0,5r – 0,75s

Die drei Komponenten x, y, z des allgemeinen Vektors
x
lassen sich also so ausdrücken:

Koordinatengleichung in Parametergleichung 04

bzw. in Vektorschreibweise durch

Koordinatengleichung in Parametergleichung 05

und wir sind fertig.

Koordinatengleichung in Parametergleichung 06

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