Koordinatengleichung und Achsenabschnittspunkte

In diesem Beitrag geht es um die Bestimmung der Achsenabschnittspunkte einer Ebene mit Hilfe einer Koordinatengleichung dieser Ebene.

Als Achsenabschnittspunkte bezeichnet man die drei Punkte

A (o ; 0 ; 0),   B (0 ; p ; 0),   C (0 ; 0 ; q)

in welchen die Koordinatenachsen die Ebene durchstoßen.

Eine Ebene ax + by + cz = d schneidet:
 
– die x-Achse im Punkt A (d/a ; 0 ; 0) , sofern a ≠ 0
 
– die y-Achse im Punkt B (0 ; d/b ; 0) , sofern b ≠ 0
 
– die z-Achse im Punkt C (0 ; 0 ; d/c) , sofern c ≠ 0

Sind die Koeffizienten a, b, c, d in der Koordinatengleichung alle ungleich Null, so lässt ax + by + cz = d umformen zu

x/o + y/p + z/q = 1

Man bezeichnet dies als die Achsenabschnittsform der Ebene.

 
Nehmen wir als Beispiel die Ebene 2x + 3y +4z = 12. Wir berechnen der Reihe nach die drei Achsenabschnittspunkte A, B, C:

Setze y = z = 0. Dann ist 2x = 12, also x = 12/2 = 6.
Setze x = z = 0. Dann ist 3y = 12, also y = 12/3 = 4.
Setze x = y = 0. Dann ist 4z = 12, also z = 12/4 = 3.

Damit lautet die Achsenabschnittsform x/6 + y/4 + z/3 = 1 und die Achsenabschnittspunkte sind
A (6 ; 0 ; 0)    B (0 ; 4 ; 0)    C (0 ; 0 ; 3).

Koordinatengleichung und Achsenabschnittspunkte

 
Existiert der Punkt A nicht, d.h. gibt es also keinen Schnittpunkt der Ebene mit der x-Achse, dann verläuft die Ebene parallel zur x-Achse. Dies ist genau dann der Fall, wenn in ax + by + cz = d der Koeffizient a Null ist, da sich in diesem Fall A (d/a ; 0 ; 0) nicht bilden lässt.

Dies gilt zum Beispiel für die Ebene 3y + 4z = 12

Ebene parallel zur x-Achse

Entsprechende Aussagen gelten für den Fall, dass b = 0 bzw. c = 0 ist. Dann ist die Ebene parallel zur y-Achse bzw. zur z-Achse. So ist zum Beispiel ist 2x + 4z = 12 parallel zur y-Achse und 2x + 3y = 12 parallel zur z-Achse.

 
An den Punkten A (d/a ; 0 ; 0) , B (0 ; d/b ; 0) , C (0 ; 0 ; d/c) lässt sich noch etwas wichtiges ablesen:

Ist nämlich in der Koordinatengleichung ax + by + cz = d der Koeffizient d gleich Null, so gilt d/a = 0 und/oder d/b = 0 und/oder d/c = 0, sofern a und/oder b und/oder c von Null verschieden sind. Da stets mindestens einer der drei Koeffizienten a, b, c nicht Null ist, ist in diesem Fall stets einer der Punkte A, B, C gleich (0 ; 0 ; 0).

Das bedeutet die Ebene ax + by + cz = 0 geht durch den Ursprung. So zum Beispiel 2x + 3y + 4z = 0

Ebene durch Ursprung

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