Normalengleichung in Parametergleichung

Auf dieser Seite geht es darum, wie sich eine gegebene Normalengleichung einer Ebene in eine vektorielle Parametergleichung dieser Ebene umwandeln lässt.

Dazu sei die folgende Ebene E in Normalenform gegeben:

Normalengleichung in Parametergleichung 01

Eine Parametergleichung dieser Ebene lässt sich auf zwei verschieden Weisen herstellen. Für beide Varianten benötigt man zunächst die Koordinatenform der Ebene. Dazu bringen wir die gegebene Normalengleichung in die folgende Form

Normalengleichung in Parametergleichung 02

und schreiben Vektor
x
komponentenweise mit x, y, z

Normalengleichung in Parametergleichung 03

Ausrechnen des Skalarproduktes auf beiden Seiten liefert die Koordinatenform

2x + 3y + 4z = 19

Aus dieser Darstellung können wir nun problemlos eine Parametergleichung der Ebene gewinnen.

Variante I – Drei-Punkte-Gleichung

Wir setzen y = z = 0 und erhalten x = 19/2 = 9,5 und damit den Punkt

A(9,5 ; 0 ; 0)

Wir setzen x = z = 0 und erhalten y = 19/3 und damit den Punkt

B(0 ; 19/3 ; 0)

Wir setzen x = y = 0 und erhalten z = 19/4 und damit den dritten Punkt

C(0 ; 0 ; 19/4)

Mit diesen drei Punkten A, B, C bilden wir nun die Parametergleichung der betrachteten Ebene und erhalten

Normalengleichung in Parametergleichung 04

und schließlich die Gleichung

Normalengleichung in Parametergleichung 05

Variante II – Direkte Parametrisierung

Wir benutzen erneut die zuerst hergestellte Koordinatenform

2x + 3y + 4z = 19

Nun setzen wir

x := r
y := s

stellen die Koordinatenform nach z um und ersetzen darin x bzw. y durch r bzw. s:

2x + 3y + 4z = 19
4z = 19 – 2x – 3y
z = 19/4 – 1/2x – 3/4y
z = 19/4 – 1/2r – 3/4s

Somit haben wir drei Gleichungen für die drei Komponenten x, y, z des allgemeinen Vektors
x

x = 0 + r · 1 + s · 0
y = 0 + r · 0 + s · 1
z = 19/4 + r · (-1/2) + s · (-3/4)

also in Vektorschreibweise

Normalengleichung in Parametergleichung 06

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