Parametergleichung in Koordinatengleichung

Auf dieser Seite geht es darum, wie sich eine gegebene vektorielle Parametergleichung einer Ebene in eine Koordinatengleichung dieser Ebene umwandeln lässt.

Dazu sei die folgende Ebene E in Parameterform gegeben:

Parametergleichung einer Ebene

Wir schreiben den Vektor
x
ausführlich mit seinen Koordinaten x, y, z und erhalten zunächst

Parametergleichung einer Ebene 2

Damit haben wir folgendes System von drei Gleichungen vorliegen:

x = 4 + 5s
y = 5 – 2r
z = 2 – 3s

Nun besteht unser Ziel darin, aus diesen drei Gleichungen eine zu gewinnen,
in der die Parameter r und s nicht mehr vorkommen!

Dazu befassen wir uns zunächst mit der ersten und der dritten Gleichung, um s zu eliminieren. Wir multiplizieren die erste Gleichung mit 3 und die dritte Gleichung mit 5 und erhalten:

3x = 12 + 15s
5z = 10 – 15s

Addieren wir diese beiden neuen Gleichungen, so gibt das

3x + 5z = 22

Da der Parameter r nur in der Gleichung y = 5 – 2r vorhanden ist, sind wir an dieser Stelle schon fertig. Um das einzusehen gehen wir so vor:

Wir addieren die beiden verbliebenen Gleichungen

y = 5 – 2r
3x + 5z = 22

und erhalten

3x + y + 5z = 22 + 5 – 2r

Um nun r ebenfalls zu eliminieren, ersetzen wir auf der rechten Seite der Gleichung den Ausdruck 5 – 2r durch y:

3x + y + 5z = 22 + y

Für die Koordinatenform gehören allerdings alle Buchstaben auf eine Seite, d.h. wir rechnen nochmal minus y und erhalten die endgültige Form:

3x + 5z = 22

Aufgrund der fehlenden Variable y handelt es sich um eine Ebene parallel zur y-Achse.

Ebene in 3D

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