Mathematik für Schüler und Studenten

Lineare Funktion

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Eine Funktion wie y = 2x + 1 heißt Lineare Funktion.

Allgemein sind lineare Funktionen stets von der Form

y = m · x + n

mit festen rationalen bzw. reellen Zahlen m und n.

Der Graph einer linearen Funktion ist immer eine Gerade.

Beispiele:

  • y = x       = 1·x + 0
  • y = -x      = -1·x + 0
  • y = 5       = 0·x + 5
  • y = 2x – 1
  • y = 0,5x + 1
  • y = 10x – 2
  • y = 1/10 x – 2

Eine lineare Funktion mit m = 0 – wie z.B. y = 42 – ist eine sogenannte konstante Funktion. Ihr Graph ist eine Parallele zur x-Achse.

Der Graph einer linearen Funktion mit n = 0 – wie z.B. y = 23x – geht stets durch den Ursprung (0|0) des Koordinatensystems.

Der Parameter m:

Die Zahl m heißt Steigung der Funktion. Je größer der Betrag von m, umso steiler verläuft die Gerade – je kleiner der Betrag von m, umso flacher verläuft die Gerade (vergleiche z.B. die Graphen der beiden linearen Funktionen y = 10x – 2 und y = 1/10 x – 2 von oben).

m > 0 die Funktion ist streng monoton steigend
m < 0 die Funktion ist streng monoton fallend
m = 0 die Funktion ist konstant / Parallele zur x-Achse

Der Parameter n:

Die Zahl n heißt y-Achsenabschnitt der Funktion, d.h. n ist diejenige Stelle, an welcher der Graph der linearen Funktion die y-Achse schneidet. Z.B. ist in der Funktion y = x der Parameter n gleich Null – der Graph schneidet die y-Achse an der Stelle 0; dagegen ist in y = 10x – 2 der Parameter n gleich -2 und der Graph schneidet die y-Achse an der Stelle -2.

Nullstelle und Schnittpunkt mit der x-Achse:

Allgemein berechnet man die Nullstelle einer linearen Funktion y = mx + n nach der Formel

x_0 = -\cfrac{n}{m}

und für den Schnittpunkt Sx mit der x-Achse gilt

S_x( -\cfrac{n}{m} \:|\: 0 )

Beispielberechnung einer Nullstelle: Die Nullstelle von y = 10x – 2 ist x0 = -(-2)/10 = 2/10 = 0,2 und der Schnittpunkt mit der x-Achse ist Sx(0,2 | 0).

Hinweis: Die Formel x0 = -n/m funktioniert natürlich nur, wenn m ungleich Null ist. Die Funktion y = 5 hat keine Nullstelle (ihr Graph verläuft an jeder Stelle oberhalb der x-Achse). Ein anderes Extrem ist y = 0. Diese Funktion hat unendlich viele Nullstellen (ihr Graph liegt auf der x-Achse).

Schnittpunkt mit der y-Achse:

Der Schnittpunkt mit der y-Achse ergibt sich direkt aus dem Parameter n. Er ist

Sy(0 | n)

Z.B. ist Sy(0 | -2) der Schnittpunkt der linearen Funktion y = 10x – 2 mit der y-Achse.

Definitions- und Wertebereich von linearen Funktionen:

Definitionsbereich bei allen linearen Funktionen ist die Menge der rationalen Zahlen bzw. die Menge der reellen Zahlen – jenachdem aus welcher der beiden Mengen die Zahlen x, die in die Funktionsgleichung eingesetzt werden dürfen, stammen sollen.

Der Wertebereich bei linearen Funktionen y = mx + n hängt von den Parametern m und n ab.

m ≠ 0 Wertebereich ist Q bzw. IR     (z.B. bei y = 8x – 7 oder bei y = -2x)

m = 0 Wertebereich ist {n}     (z.B {42} für y = 42)

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