Rang eines Systems von Vektoren

Definition Rang eines Systems von Vektoren

Sei V ein Vektorraum und v₁, … , v_n ein System von n Vektoren aus V. Dann sagt man, das System v₁, … , v_n hat den Rang r und schreibt Rang(v₁, … , v_n) = r, falls folgendes gilt:

1. Es gibt eine linear unabhängige Teilmenge von { v₁, … , v_n } mit genau r Elementen.
2. Jede r+1-elementige Teilmenge von { v₁, … , v_n } ist linear abhängig.

Hinweise und Eigenschaften

Es ist nicht gefordert, dass v₁, … , v_n paarweise verschieden sind.

Es ist Rang(v₁, … , v_n) ≤ n.

Es ist Rang(v₁, … , v_n) = Rang(v₁, … , v_n, 0).

Es ist Rang(v₁, … , v_n) ≤ Rang(v₁, … , v_n, v_n+1).

Voller Rang eines Systems von Vektoren

Sei V ein K-Vektorraum und v₁, … , v_n Vektoren aus V. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

1. Rang(v₁, … , v_n) = n.
2. v₁, … , v_n sind linear unabhängig.
3. { v₁, … , v_n } ist eine linear unabhängige Menge von n Elementen.
4. Aus a₁v₁ + … + a_nv_n = 0 folgt a₁ = … = a_n = 0

Aus der Definition lässt sich auch noch ableiten:

Sind v₁, … , v_n Vektoren eines Vektorraums V und ist der Vektor v eine Linearkombination von
v₁, … , v_n, dann gilt:    Rang(v₁, … , v_n) = Rang(v₁, … , v_n, v) .

Auch interessant:

• Rangbestimmung eines Systems von Vektoren
• Basis und Dimension eines Vektorraums
• Untervektorraum
• Vektorräume
• Vektorrechnung – Punkt einer Ebene