Rang eines Systems von Vektoren

Definition Rang eines Systems von Vektoren

Sei V ein Vektorraum und v1, … , vn ein System von n Vektoren aus V. Dann sagt man, das System v1, … , vn hat den Rang r und schreibt Rang(v1, … , vn) = r, falls folgendes gilt:

  1. Es gibt eine linear unabhängige Teilmenge von { v1, … , vn } mit genau r Elementen.
  2. Jede r+1-elementige Teilmenge von { v1, … , vn } ist linear abhängig.

Hinweise und Eigenschaften

Es ist nicht gefordert, dass v1, … , vn paarweise verschieden sind.

Es ist Rang(v1, … , vn) ≤ n.

Es ist Rang(v1, … , vn) = Rang(v1, … , vn, 0).

Es ist Rang(v1, … , vn) ≤ Rang(v1, … , vn, vn+1).

Voller Rang eines Systems von Vektoren

Sei V ein K-Vektorraum und v1, … , vn Vektoren aus V. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

  1. Rang(v1, … , vn) = n.
  2. v1, … , vn sind linear unabhängig.
  3. { v1, … , vn } ist eine linear unabhängige Menge von n Elementen.
  4. Aus a1v1 + … + anvn = 0 folgt a1 = … = an = 0

Aus der Definition lässt sich auch noch ableiten:

Sind v1, … , vn Vektoren eines Vektorraums V und ist der Vektor v eine Linearkombination von
v1, … , vn, dann gilt:    Rang(v1, … , vn) = Rang(v1, … , vn, v) .

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