Dieser Beitrag befasst sich mit dem Satz von Vieta. Außer den beiden Formeln und zwei Anwendungsmöglichkeiten gibt es hier noch einen ausführlichen Beweis des Satzes für euch.
Satz von Vieta
Die reellen Zahlen x1 und x2 sind genau dann Lösungen der quadratischen Gleichung x2 + px + q = 0, wenn folgendes gilt:
Mit dem Satz von Vieta kann man im Prinzip zwei wichtige Dinge anstellen. Zum Einen kann man damit die Lösungen einer quadratischen Gleichung x2 + px + q = 0 finden ohne die pq-Formel zu benutzen – das geht z.B. so:
Wir wollen die Lösungen von x2 + 5x + 6 = 0 bestimmen. Denken wir an den Satz von Vieta, dann suchen wir zwei Zahlen, die addiert -5 und multipliziert 6 ergeben. Man probiert ein wenig und wird recht schnell auf -2 und -3 stoßen, die beide Bedingungen erfüllen. Nach Vieta sind -2 und -3 tatsächlich die Lösungen von x2 + 5x + 6 = 0.
Eine weitere Einsatzmöglichkeit für den Satz von Vieta ergibt sich beim Erzeugen von Aufgaben:
Ein Lehrer will seinen Schülern eine quadratische Gleichung x2 + px + q = 0 mit nach Hause geben, die sie mit der pq-Formel lösen sollen.
Er setzt spontan x2 – 8x + … = 0. Nun will er … durch eine Zahl ersetzen, sodass sich zwei ganzahlige Lösungen der Gleichung ergeben. Er denkt an Vieta und fragt sich, welche zwei Zahlen addiert, ergeben 8? Er antwortet sich selbst z.B. 3 und 5 und wählt nun für … die Zahl 3·5=15. D.h. x2 – 8x + 15 = 0 wird die zu lösende Gleichung.
Und nun zum Beweis des Satzes:
Beweis
Seien x1 und x2 zwei Zahlen mit x1 + x2 = -p und x1 · x2 = q. Wir müssen zeigen, dass x1 und x2 die Gleichung x2 + px + q = 0 lösen.
Der Nachweis gelingt, indem wir x1 und x2 nacheinander in die Gleichung einsetzen:
x12 + px1 + q = 0
x12 – (x1 + x2)·x1 + x1 · x2 = 0
x12 – x12 – x2·x1 + x1 · x2 = 0
0 = 0
sowie
x22 + px2 + q = 0
x22 – (x1 + x2)·x2 + x1 · x2 = 0
x22 – x1·x2 – x22 + x1 · x2 = 0
0 = 0 .
Damit steht fest, dass x1 und x2 tatsächlich Lösungen von x2 + px + q = 0 sind.
Es sei nun eine beliebige quadratische Gleichung der Form x2 + px + q = 0 gegeben und x1 und x2 seien deren Lösungen. Wir müssen zeigen, dass x1 + x2 = -p sowie x1 · x2 = q gilt.
Aufgrund der pq-Formel wissen wir:
x1 = -p/2 + √(p2/4 – q)
x2 = -p/2 – √(p2/4 – q)
Wir ermitteln x1 + x2:
x1 + x2
= -p/2 + √(p2/4 – q) – p/2 – √(p2/4 – q)
= -p/2 – p/2
= -p
Jetzt ermitteln wir x1 · x2:
x1 · x2
= [-p/2 + √(p2/4 – q)] · [-p/2 – √(p2/4 – q)]
= p2/4 + p/2 · √(p2/4 – q) – p/2 · √(p2/4 – q) – (p2/4 – q)
= p2/4 – (p2/4 – q)
= p2/4 – p2/4 + q
= q
Damit ist alles gezeigt.