Steinitzscher Austauschsatz und Basisergänzungssatz

Auf dieser Seite werden der Steinitzsche Austauschsatz und der Basisergänzungssatz der Linearen Algebra (für endlich erzeugbare Vektorräume) angegeben.

Ist B = { v1, … , vn } eine Basis eines K-Vektorraums V und 0 ≠ v = a1v1 + … + anvn, so gibt es (mindestens) ein i in {1,…,n} mit ai ≠ 0. Für dieses i ist dann die Menge B\{vi} U {v} ebenfalls eine Basis von V.

Mit dieser Erkenntnis lässt sich ganz leicht (durch vollständige Induktion) der folgende Satz beweisen:

Steinitzscher Austauschsatz

Sei B eine Basis eines endlich erzeugbaren Vektorraums V. Dann gilt:
Zu jeder linear unabhängigen Teilmenge A von V gibt es eine Teilmenge A‘ von B, sodass B\A‘ U A wieder eine Basis von V ist. Insbesondere enthalten A und A‘ gleich viele Elemente.

Aus dem Steinitzschen Austauschsatz folgt sofort, dass je zwei verschiedene Basen eines Vektorraums V die gleiche Anzahl von Vektoren enthalten und es ergibt sich noch der so genannte Basisergänzungssatz:

Basisergänzungssatz

Zu jeder linear unabhängigen Teilmenge A eines endlich erzeugbaren Vektorraums V gibt es eine linear unabhängige Teilmenge B von V, mit der sich A zu einer Basis von V ergänzen lässt: A U B ist eine Basis von V.

Auch interessant: