Varianz einer Stichprobe – Berechnung aus der Häufigkeitsfunktion

Ist a1, a2, … , an eine Stichprobe mit m verschiedenen Stichprobenwerten x1, … , xm mit Mittelwert x und den zugehörigen relativen Häufigkeiten f(x1), … , f(xm), dann lässt sich die Varianz s2 auch auf folgende Weise berechnen:

s^2 = \cfrac{n}{n-1} \sum\limits_{i=1}^m (x_i - \bar{x})^2 \cdot f(x_i)

Die Feststellung der Körpergröße von zehn Schülern ergab die folgende Stichprobe:
 
1,70 | 1,73 | 1,73 | 1,75 | 1,78 | 1,78 | 1,78 | 1,78 | 1,80 | 1,80
 
Unter diesen zehn Werten gibt es m = 5 verschiedene
 
1,70 | 1,73 | 1,75 | 1,78 | 1,80
 
mit den entsprechenden relativen Häufigkeiten
 
1/10 | 2/10 | 1/10 | 4/10 | 2/10
 
und dem Mittelwert x = 1,763
 
Für die Varianz ergibt sich somit
 
s2 =
10/9 · [  (1,70-1,763)2 · 1/10 + (1,73-1,763)2 · 2/10 + (1,75-1,763)2 · 1/10 + (1,78-1,763)2 · 4/10 + (1,80-1,763)2 · 2/10  ] = 0,001134 .

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