Vektorrechnung – Punkt einer Ebene

Liegt der Punkt P(2|-11|-1) in der Ebene

E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 1 \\ -5 \\ -2 \end{pmatrix}

Lösung:

Falls der Punkt P zur Ebene E gehört, muss es Parameter r und s geben, sodass

\vec{OP} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 1 \\ -5 \\ -2 \end{pmatrix}

Wir erhalten

\begin{pmatrix} 2 \\ -11 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 1 \\ -5 \\ -2 \end{pmatrix}

bzw.

\begin{pmatrix} -2 \\ -11 \\ -2 \end{pmatrix} = r \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 1 \\ -5 \\ -2 \end{pmatrix}

und daraus das Gleichungssystem

I -2 = -2 r + 1 s
II -11 = 3 r – 5 s
III -2 = 2 r – 2 s

I + III liefert -4=-s also s = 4 und

s = 4 eingesetzt in II liefert r = 3 .

Eine Probe – also r = 3 und s = 4 eingesetzt in die Ebenen-Gleichung – ergibt die drei Koordinaten 2, -11, -1 und bestätigt damit, dass P(2|-11|-1) in der Ebene E liegt.

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