Für alle natürlichen Zahlen n ≥ 1 gilt: 21 + … + 2n = 2(2n – 1).
Beweis durch vollständige Induktion:
Induktionsanfang n = 1
21 = 2 = 2·(21 – 1)
Induktionsannahme
Für ein beliebiges n gelte 21 + … + 2n = 2(2n – 1).
Induktionsschritt von n auf n+1
Wir müssen zeigen:
Aus 21 + … + 2n = 2(2n – 1)
folgt 21 + … + 2n + 2n+1 = 2(2n+1 – 1).
Nachweis:
| 21 + … + 2n + 2n+1 | |
| = | 2(2n – 1) + 2n+1 |
| = | 2(2n – 1) + 2·2n |
| = | 2(2n – 1 + 2n) |
| = | 2(2n + 2n – 1) |
| = | 2(2·2n – 1) |
| = | 2(2n+1 – 1) |
Damit gilt nach dem Induktionsprinzip obige Gleichung als bewiesen ◊