Wahrscheinlichkeitsfunktion

Ein Funktion p : S → [0 ; 1] heißt Wahrscheinlichkeitsfunktion, wenn folgendes gilt:

1) S ist abzählbar,

2) $\sum\limits_{i\in S} p(i) = 1.$

Ist P ein (diskretes) Wahrscheinlichkeitsmaß auf einer Menge S, dann ist durch

p(i) := P( { i } ) ∀ i ∈ S,

eine Wahrscheinlichkeitsfunktion festgelegt.

Umgekehrt ist durch jede Wahrscheinlichkeitsfunktion p : S → [0 ; 1] eindeutig ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf S festgelegt durch

$P(A) := \sum\limits_{i\in A} p(i) \;\; \forall A \subseteq S .$

Beispiel:

Sei n eine natürliche Zahl ≥ 1 und p eine reelle Zahl zwischen 0 und 1.

Dann ist durch

$p(i) := \binom{n}{i} p^i(1-p)^{n-i} \;\;\;\; 0 \leq i \leq n$

eine Wahrscheinlichkeitsfunktion auf S = {0,1,…,n} festgelegt.

Das dadurch definierte Wahrscheinlichkeitsmaß nennt man Binomialverteilung (mit Parametern n und p).