Transponierte einer Matrix

Ist A eine m x n – Matrix, dann heißt die n x m – Matrix AT, deren Spalten die Zeilen von A sind die Transponierte von A.

Die Spalten der Matrix AT sind die Zeilen von A und entsprechend sind die Zeilen der Matrix AT die Spalten von A.

Beispiele für transponierte Matrizen:

A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} A^T = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}
A = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} A^T = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}
A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} A^T = \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}

Eigenschaften, Rechenregeln für die Transponierte einer Matrix:

(AT)T = A
 
(A + B)T = AT + BT
 
(A – B)T = AT – BT
 
(r·A)T = r·AT, r∈IR
 
(A·B)T = BT·AT

Beispiel (für die letzte Regel):

A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} B = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -2 & 5 \end{pmatrix}
A^T = \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} B^T = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}
A \cdot B = \begin{pmatrix} 10 & 13 \\ -7 & 8 \end{pmatrix} (A \cdot B)^T = \begin{pmatrix} 10 & -7 \\ 13 & 8 \end{pmatrix}
  B^T \cdot A^T = \begin{pmatrix} 10 & -7 \\ 13 & 8 \end{pmatrix}

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