Fläche zwischen zwei Graphen berechnen

In diesem Beispiel ist eine gewisse Fläche zwischen den Graphen der beiden Funktionen f(x) = sin(x) und g(x) = sin(2x) zu berechnen.

Aufgabe:

Die Graphen der Funktionen f(x) = sin(x) und g(x) = sin(2x) haben einen Schnittpunkt S(xs ; f(xs)) mit 0 < xs < π/2.

Wie groß ist die Fläche, die von beiden Graphen über dem Intervall 0 bis xs eingeschlossen wird?

Fläche zwischen sin(x) und sin(2x) gesucht

Fläche zwischen sin(x) und sin(2x) gesucht

Hinweise, Lösungsansatz:
 
Zunächst bestimmt man xs, die Stelle an der sich die beiden Graphen schneiden.
 
Dafür benutzt man die Beziehung sin(x + y) = cos(y)·sin(x) + cos(x)·sin(y), aus der man
 
sin(2x) = sin(x + x) = cos(x)·sin(x) + cos(x)·sin(x) erhält.
 
Wenn dann xs bestimmt ist, geht die Berechnung der Fläche mit Hilfe des bestimmten Integrals
 
\int\limits_0^{x_s} \sin(2x)-\sin(x) dx .

Lösung:

Es ist sin(xs) = sin(2xs) = sin(xs + xs),

weiter sin(xs) = sin(xs)·cos(xs)+cos(xs)·sin(xs),

bzw. 1 = cos(xs) + cos(xs) = 2 cos(xs),

schließlich cos(xs) = 1/2.

Das gesuchte xs erfüllt also die Bedingung

cos(xs) = 1/2 und der Arkuscosinus liefert

xs = π/3 ≈ 1,0472.

Jetzt kann die Fläche berechnet werden:

A = \int\limits_0^{\pi/3} \sin(2x)-\sin(x) dx = \left[ \cos(x) - \frac{1}{2} \cos(2x) \right]_0^{\pi/3} = 0,25
 

Die betrachtete Fläche zwischen den beiden Funktionsgraphen beträgt 0,25.

Fläche zwischen sin(x) und sin(2x) von 0 bis Pi/3

Fläche zwischen sin(x) und sin(2x)
von 0 bis Pi/3

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