In diesem Beitrag geht es um den Begriff der Folge.
Der Begriff der Folge
Eine Folge in M ist eine Funktion f : IN → M.
Man nennt an := f(n) die Glieder der Folge f und schreibt
Gilt für zwei Folgen (an) und (bn)
so heißen (an) und (bn) gleich.
Auf den Startindex n=1 kommt es bei einer Folge nicht wirklich an: Unter einer Folge (bn)n≥m mit irgend einer ganzen Zahl m versteht man die Folge (an) mit
Reelle Folgen
Eine Folge in IR nennt man eine reelle Folge oder Zahlenfolge oder reelle Zahlenfolge.
Mit ω bezeichnet man die Menge aller reellen Folgen.
Verknüpfen von reellen Folgen
Für zwei Folgen (an) und (bn) sind folgende (gliedweise) Verknüpfungen festgelegt:
(an) + (bn) = (an + bn)
(an) – (bn) = (an – bn)
(an) · (bn) = (an · bn)
(an) / (bn) = (an / bn)
Die letzte Verknüpfung funktioniert natürlich nur unter der Voraussetzung bn≠0 für jedes n.
Beispiele für reelle Folgen
Konstante Folge ê = (an) mit an := e für jedes n und irgend ein reelles e
(bn) mit bn := 2n für jedes n
(cn) mit cn := 1/2n = 0,5n für jedes n
(dn) mit dn := √n für jedes n
Beschränkte Folgen
Eine Folge (an) aus ω heißt beschränkt, wenn folgendes gilt:
Es gibt ein K > 0, sodass |an| < K für jedes n.
Mit l∞ bezeichnet man die Menge aller beschränkten Folgen.
Norm einer Folge
Für jede Folge f = (an) aus ω heißt
die Norm der Folge f.
Eine reelle Folge ist genau dann beschränkt, wenn ihre Norm kleiner als Unendlich ist.
Sind f und g beschränkte Folgen und r eine reelle Zahl, dann gilt:
||f|| ≥ 0 und [ ||f|| = 0 genau dann wenn f = (0, 0, 0, …) ]
||r · f|| = |r| · ||f||
||f + g|| ≤ ||f|| + ||g|| .
Beispiele für beschränkte Folgen
Jede konstante Folge ist beschränkt.
(an) mit an = 1/n, (bn) mit bn = (n+1)/n, (cn) mit cn = 2-n sind beschränkt.
Sind f und g beschränkte Folgen und r eine reelle Zahl, dann sind auch f + g, f – g, r · f sowie f · g beschränkte Folgen.