Folgen

In diesem Beitrag geht es um den Begriff der Folge.

Der Begriff der Folge

Eine Folge in M ist eine Funktion f : IN → M.

Man nennt an := f(n) die Glieder der Folge f und schreibt

f = (an) = (a1, a2, a3, …).

Gilt für zwei Folgen (an) und (bn)

an = bn für jedes n,

so heißen (an) und (bn) gleich.

Auf den Startindex n=1 kommt es bei einer Folge nicht wirklich an: Unter einer Folge (bn)n≥m mit irgend einer ganzen Zahl m versteht man die Folge (an) mit

an := bm-1+n für n = 1, 2, 3, … .

Reelle Folgen

Eine Folge in IR nennt man eine reelle Folge oder Zahlenfolge oder reelle Zahlenfolge.

Mit ω bezeichnet man die Menge aller reellen Folgen.

Verknüpfen von reellen Folgen

Für zwei Folgen (an) und (bn) sind folgende (gliedweise) Verknüpfungen festgelegt:

(an) + (bn) = (an + bn)

(an) – (bn) = (an – bn)

(an) · (bn) = (an · bn)

(an) / (bn) = (an / bn)

Die letzte Verknüpfung funktioniert natürlich nur unter der Voraussetzung bn≠0 für jedes n.

Beispiele für reelle Folgen

Konstante Folge ê = (an) mit an := e für jedes n und irgend ein reelles e

(bn) mit bn := 2n für jedes n

(cn) mit cn := 1/2n = 0,5n für jedes n

(dn) mit dn := √n für jedes n

Beschränkte Folgen

Eine Folge (an) aus ω heißt beschränkt, wenn folgendes gilt:

Es gibt ein K > 0, sodass |an| < K für jedes n.

Mit l bezeichnet man die Menge aller beschränkten Folgen.

Norm einer Folge

Für jede Folge f = (an) aus ω heißt

||f|| := sup{ |f(n)| | n∈IN }

die Norm der Folge f.

Eine reelle Folge ist genau dann beschränkt, wenn ihre Norm kleiner als Unendlich ist.

Sind f und g beschränkte Folgen und r eine reelle Zahl, dann gilt:
 
||f|| ≥ 0 und [ ||f|| = 0 genau dann wenn f = (0, 0, 0, …) ]
 
||r · f|| = |r| · ||f||
 
||f + g|| ≤ ||f|| + ||g||
.

Beispiele für beschränkte Folgen

Jede konstante Folge ist beschränkt.

(an) mit an = 1/n, (bn) mit bn = (n+1)/n, (cn) mit cn = 2-n sind beschränkt.

Sind f und g beschränkte Folgen und r eine reelle Zahl, dann sind auch f + g, f – g, r · f sowie f · g beschränkte Folgen.

Auch interessant: