Folgen und Grenzwerte – Test 1

Hier gibt es einen Test über das Thema Folgen und Grenzwerte für euch. Der Test ist für Abiturienten geeignet und sollte in ca. 100 Minuten zu schaffen sein. Einen Lösungsvorschlag findet ihr weiter unten. Viel Spaß beim Üben.

 

Test Folgen und Grenzwerte

 

1. Stelle bei den unten angegebenen Folgen jeweils fest, ob es sich eventuell um eine arithmetische
    oder geometrische Folge handelt und bestimme in diesen Fällen explizit das Bildungsgesetz der
    Folge.

    a)   5 ; -6 ; -19 ; …

    b)   4/2 ; 7/5 ; 10/10 ; 13/20 ; 7/20 ; …

    c)   3,5 ; 7/4 ; 7/8 ; 7/16 ; 7/32 ; …

    d)   a1 = 1 ; an = 2·an-1 – 3

2. a)   Von einer arithmetischen Folge (an) ist das vierte und das achte Folgenglied bekannt:

          a4  = 13 ; a8 = 33 .

          Zu bestimmen ist das erste Folgenglied a1 sowie das allgemeine Bildungsgesetz der Folge.

    b)   Eine geometrische Folge sei festgelegt durch ihr drittes und neuntes Folgenglied:

          a3  = 13,5 ; a9 = 9841,5 .

          Zu bestimmen ist das erste Folgenglied a1 sowie das allgemeine Bildungsgesetz der Folge.

3. Berechne die folgenden drei Summen:

    a)   1 + 1/3 + (1/3)2 + … + (1/3)9

    b)   2 + 22 + 23 + … + 221

    c)   \sum\limits_{i=1}^{12} (-3)^{i-1}

4. Betrachte die Folgen (an), (bn), (cn) mit
    a_n = \cfrac{7n - 3}{3n + 2} , b_n = \cfrac{3n}{3^n} , c_n = \cfrac{3 - n}{n^2} .

    a)   Stelle die Folge (an) grafisch dar.

    b)   Berechne die Werte der Folgenglieder b1, b10, b100, b1000.

    c)   Stelle fest, welche der drei Folgen konvergent oder divergent ist. Berechne die Grenzwerte der
          konvergenten Folgen.

5. Beweise die beiden Aussagen durch vollständige Induktion:
    a)   Für jede natürliche Zahl n ist 3n2 + 9n durch 6 teilbar.
    b)   Für jede natürliche Zahl n ≥ 3 ist n2 > 2n + 1.

Ein Lösungsvorschlag zu diesem Test wird in Kürze nachgereicht.

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