Grenzwertsätze für Folgen – Einschachtelungssatz

Sind (an) und (bn) konvergente Folgen mit dem gleichen Grenzwert a und ist (cn) eine weitere Folge mit an≤cn≤bn für alle n, dann konvergiert (cn) ebenfalls gegen a.

Beispiel:

Seien \left(a_n\right) = \left(\cfrac{2n^2}{n^2+3n}\right) , \left(b_n\right) = \left(2\right) und \left(c_n\right) = \left(\cfrac{2n^2}{n^2+n}\right) .

Es ist \cfrac{2n^2}{n^2+3n} \leq \cfrac{2n^2}{n^2+n} \leq 2 sowie

\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \cfrac{2n^2}{n^2+3n} = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} 2 = 2 . Damit muss nach dem Einschachtelungssatz

\lim\limits_{n \rightarrow \infty} c_n = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \cfrac{2n^2}{n^2+n} = 2 sein.

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