Geometrie, Algebra – Mathe Abituraufgaben mit Lösungen – Sachsen 1994 (B1 a,b)

Auf dieser Seite gibt es für euch original Mathe Abituraufgaben mit Lösungen und zwar den Teil B1, Aufgabe a und b – Geometrie/Algebra (Sachsen 1994).

Quelle der Aufgaben ist Abitur 2000 – Prüfungsaufgaben mit Lösungen (ISBN 3-89449-264-3) aus dem STARK Verlag.

Gegeben:

Punkte A = (7; -5; 0) und B = (2; 0; 0) sowie eine Gerade g durch die Gleichung
Gerade g

Aufgabe a)

Stelle fest, ob der Punkt C = (2; -6; 0) auf der Geraden g liegt!
Bestimme den Schnittpunkt von g mit der y-z-Ebene!

Lösung:

Wenn C auf g liegt, muss es ein t geben, sodass

2 = -2 + t·(-2)

-6 = 22 + t·14

0 = 10 + t·5

Aus allen drei Gleichungen ergibt sich t = -2, also liegt C auf g.

 
Der Schnittpunkt (xS; yS; zS) von g mit der y-z-Ebene muss die Bedingung xS = 0 erfüllen. Mit Hilfe der Geradengleichung ergibt sich

0 = -2 + t·(-2) also t = -1.

Mit diesem t können wir yS und zS berechnen:

yS = 22 + (-1)·14 = 22 – 14 = 8

zS = 10 + (-1)·5 = 10 – 5 = 5

Somit ist (0; 8; 5) der Schnittpunkt von g mit der y-z-Ebene.

Aufgabe b)

Warum liegt Dreieck ABC in der x-y-Ebene?
Gesucht ist der Winkel α sowie der Flächeninhalt A des Dreiecks ABC!

Lösung:

Das Dreieck ABC muss in der x-y-Ebene liegen, da bei allen drei Punkten A, B, und C die z-Koordinate gleich Null ist.

Aus den drei Punkten

A = (7; -5; 0)

B = (2; 0; 0)

C = (2; -6; 0)

ergibt sich das folgende Dreieck:
Dreick ABC in x-y-Ebene

Der Vektor
c
=
AB
mit der Länge c und Vektor
b
=
AC
mit der Länge b schließen den gesuchten Winkel α ein. Mit Hilfe des Skalarproduktes aus diesen beiden Vektoren ergibt sich:

cos α =
c
·
b
/ (c·b)

Es ist

Vektor c

mit einer Länge von c = √((-5)2 + 52 + 02) = √50 und

Vektor b

mit einer Länge von b = √((-5)2 + (-1)2 + 02) = √26 .

Damit ergibt sich für α

α = cos-1( 20 / (√50·√26) ) = 56,3° .

 
Der Flächeninhalt des besagten Dreiecks ist A = 0.5 · c · b · sin α, also

A = 0.5 · √50 · √26 · sin 56,3° = 15 .

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