Geometrie, Algebra – Mathe Abituraufgaben mit Lösungen – Sachsen 1994 (B1 e,f)

Auf dieser Seite gibt es für euch Geometrie/Algebra – Mathe Abituraufgaben mit Lösungen und zwar den Teil B1, Aufgabe e und f (Sachsen 1994).

Gegeben:

Punkte
A = (7; -5; 0)
B = (2; 0; 0)
C = (2; -6; 0)
D = (0; 8; 5)

Fläche des Dreiecks ABC
AABC = 15

sowie der zugehörige Umkreis k dieses Dreiecks durch die Gleichung (x – 4)2 + (y + 3)2 = 13
mit Mittelpunkt M = (4; -3; 0)

Aufgabe e)

Gesucht ist das Volumen der Pyramide mit der dreieckigen Grundfläche ABC und der Spitze D!
Pyramide

Gesucht ist weiterhin das Volumen des Kreiskegels, dessen Grundfläche der Fläche des Kreises k entspricht und der ebenfalls die Spitze D hat!
In welchem Verhältnis steht das Volumen des Kreiskegels zum Volumen der Pyramide?

Lösung:

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich nach der Formel

V = 1/3 x Grundfläche x Höhe.

Dabei spielt es keine Rolle, dass diese Pyramide hier schief ist. Die Grundfläche ist gegeben – genau wie die Höhe. Die Höhe ist nämlich der Abstand der Spitze D von der x-y-Ebene, in welcher die Grundfläche der Pyramide liegt. Da der Punkt D = (0; 8; 5) die z-Koordinate 5 hat, ist das also die besagte Höhe.

Wir erhalten für das Pyramiden-Volumen VP = 1/3 · 15 · 5 = 25.

Auch das Volumen des Kreiskegels berechnet sich nach der Formel

V = 1/3 x Grundfläche x Höhe.

Die Grundfläche ist hier aber ein Kreis, d.h. man rechnet für die Fläche π r2, wobei r2 = 13 ist, wie aus der gegebenen Kreisgleichung hervorgeht.

Wir erhalten für das Kreiskegel-Volumen VK = 1/3 · π·13 · 5 = 68,1.

Das gesuchte Verhältnis der Volumina lautet VK / VP = 68,1 / 25 = 2,72.

Aufgabe f)

Man betrachte irgendeinen Punkt S, der nicht in der x-y-Ebene liegt und wie in Aufgabe e) die Spitze eines Kreiskegels mit der Fläche des Kreises k und gleichzeitig Spitze der darin enthaltenden Pyramide mit der Fläche des Dreiecks ABC ist.

Es ist zu zeigen, dass das Verhältnis von Kreiskegelvolumen VK zu Pyramidenvolumen VP nicht vom Punkt S = (xS; yS; zS) abhängt!

Lösung:

Für den Nachweis benutzen wir die beiden Volumenformeln für Kreiskegel und Pyramide:

VK = 1/3 · AKreis · h   und   VP = 1/3 · ADreieck · h

In beiden Formeln kommt die gleiche Höhe h = zS (die z-Koordinate von Punkt S) vor. Teilen wir nun VK durch VP, so erhalten wir (da sich 1/3 und zS herauskürzen)

AKreis / ADreieck = π·13 / 15 = 2,72

also das gleiche Verhältnis wie in der vorigen Aufgabe, wobei bei dessen Berechnung der Punkt S keine Rolle spielte.

Quelle: Die Aufgaben sind dem Buch Abitur 2000 – Prüfungsaufgaben mit Lösungen, STARK Verlag, 1999 entnommen.

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