Matrix

In diesem Beitrag geht es um den in der Mathematik so wichtigen Begriff der Matrix.

Zum Begriff Matrix

Als Matrix bezeichnet man ein rechteckiges Zahlenschema. Die Zahlen in der Matrix heißen Elemente oder Einträge der Matrix.

In der Regel handelt es sich bei den Zahlen in der Matrix um reelle Zahlen. Aber auch komplexe Matrizen, also Matrizen mit komplexen Zahlen als Elemente sind in den Anwendungen von großer Bedeutung.

Die waagerechten Reihen heißen Zeilen und die senkrechten Reihen heißen Spalten der Matrix.

Eine Matrix mit nur einer Zeile heißt Zeilenmatrix oder Zeilenvektor.

Eine Matrix mit nur einer Spalte heißt Spaltenmatrix oder Spaltenvektor.

Besitzt eine Matrix A m Zeilen und n Spalten

A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \end{pmatrix}

so sagt man A ist eine m x n-Matrix (lies M Kreuz N Matrix).

Mit aij wird dann das Element in der i-ten Zeile und der j-ten Spalte der Matrix bezeichnet.

Zwei Matrizen A und B sind genau dann gleich, wenn sie die gleiche Anzahl von Zeilen und Spalten besitzen und wenn aij=bij gilt, d.h. die entsprechenden Elemente gleich sind.

Beispiel für eine 2 x 2-Matrix:   \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}

Beispiel für eine 3 x 5-Matrix:   \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 0 & 0 \\ 4 & 3 & -2 & -1 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 2 & -7 \end{pmatrix}

Beispiel für eine 4 x 2-Matrix:   \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}

Beispiel für eine 1 x 3-Zeilenmatrix:   \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}

Beispiel für eine 3 x 1-Spaltenmatrix:   \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}

Besonders wichtig sind die sogenannten quadratischen Matrizen:

Quadratische Matrix

Eine Matrix, die n Zeilen und genauso viele Spalten enthält, nennt man quadratische Matrix.

Man spricht auch von einer n-reihigen, quadratischen Matrix und nennt n die Ordnung der Matrix.

\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \end{pmatrix}

Bei einer n-reihigen, quadratischen Matrix nennt man die Folge der Elemente a11, a22, … , ann die Hauptdiagonale der Matrix.

Beispiel für eine quadratische Matrix 2ter Ordnung:   \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}

Beispiel für eine quadratische Matrix 3ter Ordnung:   \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

Viele spezielle quadratische Matrizen bekommen – wegen ihrer Bedeutung in den Anwendungen – spezielle Namen.

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