Eine konvergente Folge (an) mit Grenzwert g = 0 heißt Nullfolge.
Die Folgen (1/n) , (1/n2) , (1/n3) usw. sind alle Nullfolgen.
Wir zeigen dies exemplarisch am Beispiel der Folge (1/n):
| |1/n – 0| < ε | |
| ⇔ | 1/n < ε |
| ⇔ | 1/ε < n |
Für ein beliebig vorgegebenes ε>0 wählt man für n0 eine natürliche Zahl, die größer ist als 1/ε und von da an, d.h für alle n≥n0 ist die Abstandsbedingung |1/n – 0| < ε erfüllt. Damit ist 0 der Grenzwert der Folge (1/n) ◊ Das Beispiel lässt sich verallgemeinern. Es gilt:
Ist a eine beliebige reelle Zahl und k≥1, dann ist (a / nk) eine Nullfolge.
Ein weiterer wichtiger Satz über Nullfolgen ist dieser:
Ist (bn) eine Nullfolge und gilt für eine weitere Folge (an) stets
0 ≤ an ≤ bn
so ist auch (an) eine Nullfolge.
Beweis:
Sei ε beliebig vorgegeben.
Da (bn) eine Nullfolge ist, gibt es ein n0, sodass für alle n≥n0 die Beziehung
bn = |bn| = |bn – 0| < ε gilt.
Für genau die gleichen n gilt aber auch an ≤ bn und damit insgesamt
|an – 0| = an ≤ bn < ε,
d.h. (an) konvergiert ebenfalls gegen 0 ◊
Anwendung:
Der eben bewiesene Satz kann dazu benutzt werden Folgen als Nullfolgen nachzuweisen (ohne Epsilontik zu benutzen).
Beispiel:
Nehmen wir an, es liegt uns die Folge (an) mit an = n / (n3+2n+4) vor. Wir vermuten den Grenzwert 0, aber statt Epsilontik können wir jetzt so argumentieren:
Es ist stets 
(Dass die obige Ungleichung gilt, sieht man sofort ein, wenn man mit den beiden Nennern multipliziert.)
Jede Folge der Form (a · qk) mit reellen a, q und |q|<1 ist ebenfalls eine Nullfolge.
Beispiel:
(an) mit an = 20000 · 0,80n
(So ließe sich z.B. etwas beschreiben, das neu 20000 Euro wert ist und jedes Jahr 20% an Wert verliert.)