Nullfolgen

Eine konvergente Folge (an) mit Grenzwert g = 0 heißt Nullfolge.

Die Folgen (1/n) , (1/n2) , (1/n3) usw. sind alle Nullfolgen.

Wir zeigen dies exemplarisch am Beispiel der Folge (1/n):

  |1/n – 0| < ε
1/n < ε
1/ε < n

Für ein beliebig vorgegebenes ε>0 wählt man für n0 eine natürliche Zahl, die größer ist als 1/ε und von da an, d.h für alle n≥n0 ist die Abstandsbedingung |1/n – 0| < ε erfüllt. Damit ist 0 der Grenzwert der Folge (1/n) ◊ Das Beispiel lässt sich verallgemeinern. Es gilt:

Ist a eine beliebige reelle Zahl und k≥1, dann ist (a / nk) eine Nullfolge.

Ein weiterer wichtiger Satz über Nullfolgen ist dieser:

Ist (bn) eine Nullfolge und gilt für eine weitere Folge (an) stets
0 ≤ an ≤ bn
so ist auch (an) eine Nullfolge.

Beweis:

Sei ε beliebig vorgegeben.
Da (bn) eine Nullfolge ist, gibt es ein n0, sodass für alle n≥n0 die Beziehung
bn = |bn| = |bn – 0| < ε gilt. Für genau die gleichen n gilt aber auch an ≤ bn und damit insgesamt
|an – 0| = an ≤ bn < ε, d.h. (an) konvergiert ebenfalls gegen 0 ◊

Anwendung:

Der eben bewiesene Satz kann dazu benutzt werden Folgen als Nullfolgen nachzuweisen (ohne Epsilontik zu benutzen).

Beispiel:

Nehmen wir an, es liegt uns die Folge (an) mit an = n / (n3+2n+4) vor. Wir vermuten den Grenzwert 0, aber statt Epsilontik können wir jetzt so argumentieren:

Es ist stets \cfrac{n}{n^3+2n+4} < \cfrac{1}{n} [/latex] und da (1/n) eine Nullfolge ist, muss auch (an) eine sein!

(Dass die obige Ungleichung gilt, sieht man sofort ein, wenn man mit den beiden Nennern multipliziert.)

Jede Folge der Form (a · qk) mit reellen a, q und |q|<1 ist ebenfalls eine Nullfolge.

Beispiel:

(an) mit an = 20000 · 0,80n

(So ließe sich z.B. etwas beschreiben, das neu 20000 Euro wert ist und jedes Jahr 20% an Wert verliert.)

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