Produktregel der Differentialrechnung

Hier wird die Produktregel der Differentialrechnung hergeleitet. Zwei Beispiele zeigen, wie man damit die Ableitung einer Funktion bilden kann.

Die Produktregel

Sind die Funktionen f und g an einer Stelle x0 differenzierbar, dann ist auch die Funktion h = f · g an der Stelle x0 differenzierbar und es ist

h'(x0) = f'(x0) g(x) + f(x0) g'(x0)

Kurzform der Produktregel

Für (differenzierbare) f und g gilt

(fg)‘ = f‘ g + f g‘

Herleitung/Beweis der Produktregel

Beispiele

f(x) = (x2 + 2) · (x3 – 6)
f'(x) = (x2 + 2)‘ · (x3 – 6) + (x2 + 2) · (x3 – 6)‘
= 2x · (x3 – 6) + (x2 + 2) · 3x2
= 2x4 – 12x + 3x4 + 6x2
= 5x4 + 6x2 – 12x
f(x) = 1/x · √x ,   x>0
f'(x) = (1/x)‘ · √x + 1/x · (√x)‘
= -x-2 · √x + x-1 · 1/(2√x)
= -2/(2x √x) + 1/(2x √x)
= -1/(2x √x)

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