Quadratische Funktionen – Normalform in Scheitelpunktform umwandeln
In diesem Beitrag wird erklärt wie man eine quadratische Funktion in Normalform f(x) = x2 + px + q in die Scheitelpunktform f(x) = (x + d)2 + e umwandelt.
Zunächst die allgemeine Herleitung der Formel
f(x) = x2 + px + q = (x + p/2)2 – p2/4 + q:
| f(x) | = | x2 + px + q |
| f(x) | = | x2 + 2 · p/2 · x + q |
| f(x) | = | x2 + 2 · p/2 · x + p2/4 – p2/4 + q |
| f(x) | = | (x + p/2)2 – p2/4 + q |
| f(x) | = | (x + d)2 + e |
| mit d = p/2 und e = – p2/4 + q |
Der Scheitelpunkt ist dann S = (-d ; e).
Hier nun drei Beispiele für die Umwandlung von quadratischen Funktionen in Normalform zur Scheitelpunktform:
| Normalform | Scheitelpunktform |
|---|---|
| f(x) = x2 – 8x + 15 | d = -8/2 = -4 e = -16 + 15 = -1 f(x) = (x – 4)2 – 1 |
| f(x) = x2 – 9x + 14 | d = -9/2 = -4,5 e = -20,25 + 14 = -6,25 f(x) = (x – 4,5)2 – 6,25 |
| f(x) = x2 – 11x – 12 | d = -11/2 = -5,5 e = -30,25 – 12 = -42,25 f(x) = (x – 5,5)2 – 42,25 |
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