Rechenregeln für Grenzwerte von Folgen

Sind (an) und (bn) konvergente Folgen dann gilt:

\lim\limits_{n\rightarrow\infty} (a_n + b_n) = \lim\limits_{n\rightarrow\infty} a_n + \lim\limits_{n\rightarrow\infty} b_n \lim\limits_{n\rightarrow\infty} (a_n - b_n) = \lim\limits_{n\rightarrow\infty} a_n - \lim\limits_{n\rightarrow\infty} b_n \lim\limits_{n\rightarrow\infty} (a_n \cdot b_n) = \lim\limits_{n\rightarrow\infty} a_n \cdot \lim\limits_{n\rightarrow\infty} b_n

\lim\limits_{n\rightarrow\infty} \cfrac{a_n}{b_n} = \cfrac{ \lim\limits_{n\rightarrow\infty} a_n }{ \lim\limits_{n\rightarrow\infty} b_n }     sofern die b_n und \lim\limits_{n\rightarrow\infty} b_n ungleich Null.

Beispiele für die Verwendung der Rechenregeln:

 \lim \left(4 + \cfrac{1}{n^2}\right) = \lim 4 + \lim \cfrac{1}{n^2} = 4 + 0 = 4

 \lim \left(\cfrac{2n-1}{3+n}\right)
= \lim \left(\cfrac{2-1/n}{3/n+1}\right)  = \cfrac{ \lim \left( 2-1/n \right) }{ \lim \left( 3/n+1 \right) } = \cfrac{\lim 2 - \lim 1/n}{\lim 3/n + \lim 1} = \cfrac{2-0}{0+1} = 2

\lim \left( (-1/2)^n \cdot \cfrac{5n+2}{n} \right)
 = \lim \left(-1/2\right)^n \cdot \lim \left(\cfrac{5n+2}{n}\right) = 0 \cdot \lim \left(\cfrac{5+2/n}{1}\right) = 0 \cdot \cfrac{5+0}{1} = 0

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