Basis und Dimension eines Vektorraums

In diesem Beitrag werden die Begriffe Basis und Dimension eines Vektorraums erklärt.

Basis eines Vektorraumes

Eine Teilmenge B eines Vektorraumes V heißt genau dann eine Basis von V, wenn gilt: Jeder Vektor v aus V lässt sich eindeutig als Linearkombination von Vektoren aus B ausdrücken.

Charakterisierung der Basis eines Vektorraumes

Sei B eine Teilmenge eines Vektorraums V. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

  1. B ist eine Basis von V.
  2. B ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem von V.
  3. B ist ein minimales Erzeugendensystem von V:
        d.h. Lin B = V und für jeden Vektor u ∈ B ist Lin ( B\{u} ) ≠ V.
  4. B ist eine maximale linear unabhängige Teilmenge von V:
        d.h. B ist linear unabhängig und für jeden Vektor v ∈ V\B ist B U {v} linear abhängig.

Beispiele für Basen von Vektorräumen

Die leere Menge gilt vereinbarungsgemäß als Basis des Nullraums.

(1,0) und (0,1) bilden eine Basis des IR2, die so genannte kanonische Basis des IR2.
(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) ist die kanonische Basis des IR3.

(1,0), (0,1), (3,4) sind zwar ein Erzeugendensystem des IR2, aber keine Basis.

Über die Existenz von Basen

Jeder Vektorraum V besitzt eine Basis.

Jedes endliche Erzeugendensystem eines Vektorraumes V enthält auch eine Basis von V.
Oder so ausgedrückt: Jeder endlich erzeugbare Vektorraum V besitzt eine endliche Basis.

Anzahl von Vektoren in endlichen Basen eines Vektorraums

Sind B und B‘ zwei verschiedene Basen eines endlich erzeugbaren Vektorraums V, dann enthalten B und B‘ gleich viele Vektoren.

Dimension eines Vektorraums

Sei B eine Basis eines Vektorraums V. Dann heißt

dim V := |B| (Anzahl der Elemente von B)

die Dimension von V.

Besitzt ein Vektorraum V eine Basis mit genau n Elementen, dann nennt man V n-dimensional.

Beispiele

Der IR2 ist ein zwei-dimensionaler Vektorraum, der IR3 ein drei-dimensionaler.

Der Vektorraum IR[x] der Polynome über IR ist ein unendlich-dimensionaler IR-Vektorraum.

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