Gewisse reelle Zahlenfolgen haben die Eigenschaft, dass jedes Glied der Folge einen bestimmten Zahlenwert nicht überschreitet/unterschreitet. Solche Zahlenfolgen nennt man beschränkte Folgen.
Eine Folge (an) heißt nach oben beschränkt, wenn für alle n aus IN gilt:
es gibt eine Zahl K, sodass an ≤ K.
Eine Folge (an) heißt nach unten beschränkt, wenn für alle n aus IN gilt:
es gibt eine Zahl K, sodass K ≤ an.
Eine Folge (an) heißt beschränkt, wenn gilt:
(an) ist nach oben und unten beschränkt.
Aus den Definitionen folgt unmittelbar, dass eine Folge genau dann beschränkt ist, wenn es eine Zahl K > 0 gibt, sodass |an| ≤ K ist und zwar für alle Glieder an.
Die letzte Ungleichung lässt sich auch anschaulicher so ausdrücken:
woran man direkt sieht, dass die Folgeglieder einen gewissen Zahlenwert niemals unterschreiten und einen anderen niemals überschreiten.
Beispiel:
Die Folge (an) mit an = n2 ist nach unten z.B. durch die Zahl K = 0 beschränkt.
Nachweis:
Für nichtnegative Zahlen n gilt: 0 ≤ n2 ⇔ 0 ≤ n.
(die rechte Ungleichung ist für alle natürlichen Zahlen n immer wahr, also auch die linke Ungleichung).
Beispiel:
Die Folge (an) mit an = n2 ist nach oben nicht beschränkt.
Nachweis:
Jede noch so große Zahl K wird von einer gewissen Indexzahl n an von allen Folgegliedern an übertroffen:
Man wähle z.B. für n eine natürliche Zahl, die größer ist als die Wurzel aus K.
Dann gilt K < n2 < (n+1)2 < ...
Beispiel:
Die Folge (an) mit an = 1 – 1/(n+1) ist nach oben durch K = 1 beschränkt.
Nachweis:
1 – 1/(n+1) ≤ 1 ⇔ (n+1) – 1 ≤ (n+1) ⇔ n ≤ n+1.
Die rechte Ungleichung ist für alle natürlichen Zahlen n immer wahr, also auch die linke Ungleichung.
Beispiel:
Die Folge (an) mit an = 1 – 1/(n+1) ist nach unten durch K = 0 beschränkt.
Nachweis:
0 ≤ 1 – 1/(n+1) ⇔ 0 ≤ (n+1) – 1 ⇔ 0 ≤ n.
Die rechte Ungleichung ist für alle natürlichen Zahlen n immer wahr, also auch die linke Ungleichung.
Beispiel:
Die Folge (an) mit an = (-1)n·n2 ist weder nach oben noch nach unten beschränkt.
Nachweis:
Der Term (-1)n sorgt dafür, dass je zwei benachbarte Folgeglieder unterschiedliche Vorzeichen haben, d.h. es gibt unendlich viele positive und unendlich viele negative Folgeglieder.
Der Term n2 sorgt noch dafür, dass die Beträge der Folgeglieder (wie im obigen Beispiel gezeigt) über alle Schranken hinaus anwachsen. Dadurch wird jede noch so kleine Zahl irgendwann unterschritten und jede noch so große Zahl irgendwann überschritten.