Auf dieser Seite findet ihr eine Liste gängiger Funktionen zusammen mit wichtigen, häufig benötigten Grenzwerten und uneigentlichen Grenzwerten dieser Funktionen.
Grenzwerte Linearer Funktionen und von Potenzfunktionen
| Funktion f(x) | Reelle Zahl a oder a = ∞ oder a = – ∞ |
Limes von f(x) für x gegen a |
|---|---|---|
| konstante Funktion f(x) = 42 |
a beliebig einschließlich ± ∞ |
lim f(x) = 42 |
| lineare Funktion mit positivem Anstieg f(x) = 2x – 1 |
a beliebige Zahl a = ∞ a = – ∞ |
lim f(x) = 2a – 1 lim f(x) = ∞ lim f(x) = – ∞ |
| lineare Funktion mit negativem Anstieg f(x) = -0,5x + 2 |
a beliebige Zahl a = ∞ a = – ∞ |
lim f(x) = -0,5a + 2 lim f(x) = – ∞ lim f(x) = ∞ |
| Standardnormalparabel f(x) = x2 |
a beliebige Zahl a = ∞ a = – ∞ |
lim f(x) = a2 lim f(x) = ∞ lim f(x) = ∞ |
| Potenzfunktionen f(x) = xn n positiv und gerade |
a beliebige Zahl a = ∞ a = – ∞ |
lim f(x) = an lim f(x) = ∞ lim f(x) = ∞ |
| Potenzfunktionen f(x) = xn n positiv und ungerade |
a beliebige Zahl a = ∞ a = – ∞ |
lim f(x) = an lim f(x) = ∞ lim f(x) = – ∞ |
| Potenzfunktion f(x) = 1/x = x-1 |
a beliebige Zahl ≠ 0 a = 0– (von links) a = 0+ (von rechts) a = ∞ a = – ∞ |
lim f(x) = 1/a = a-1 lim f(x) = – ∞ lim f(x) = ∞ lim f(x) = 0 lim f(x) = 0 |
| Potenzfunktionen f(x) = xm m negativ und ungerade m = -1, -3, -5, -7, … |
a beliebige Zahl ≠ 0 a = 0– (von links) a = 0+ (von rechts) a = ∞ a = – ∞ |
lim f(x) = am lim f(x) = – ∞ lim f(x) = ∞ lim f(x) = 0 lim f(x) = 0 |
| Potenzfunktion f(x) = 1/x2 = x-2 |
a beliebige Zahl ≠ 0 a = 0– (von links) a = 0+ (von rechts) a = ∞ a = – ∞ |
lim f(x) = 1/a2 = a-2 lim f(x) = ∞ lim f(x) = ∞ lim f(x) = 0 lim f(x) = 0 |
| Potenzfunktionen f(x) = xm m negativ und gerade m = -2, -4, -6, -8, … |
a beliebige Zahl ≠ 0 a = 0– (von links) a = 0+ (von rechts) a = ∞ a = – ∞ |
lim f(x) = am lim f(x) = ∞ lim f(x) = ∞ lim f(x) = 0 lim f(x) = 0 |
Grenzwerte ganzrationaler und gebrochenrationaler Funktionen
| Funktion f(x) | Reelle Zahl a oder a = ∞ oder a = – ∞ |
Limes von f(x) für x gegen a |
|---|---|---|
| Polynom dritten Grades f(x) = -3x3 – 20x2 + 1 |
a = 5 a = ∞ a = – ∞ |
lim f(x) = -3·53 – 20·52 + 1 lim f(x) = – ∞ lim f(x) = ∞ |
| ganzrationale Funktion n-ten Grades f(x) = anxn+…+a1x+a0 |
a beliebige Zahl a = ∞ a = – ∞ |
lim f(x) = anan+…+a1a+a0 lim f(x) = sgn(an)·lim xn lim f(x) = sgn(an)·lim xn |
| f(x) = 2x / (x2-1) | a∈IR\{-1;1} a = -1 (von links) a = -1 (von rechts) a = 1 (von links) a = 1 (von rechts) a = ∞ a = – ∞ |
lim f(x) = 2a / (a2-1) lim f(x) = – ∞ lim f(x) = ∞ lim f(x) = – ∞ lim f(x) = ∞ lim f(x) = 0 lim f(x) = 0 |
| gebochenrationale Fkt. f(x) = Z(x) / N(x) mit Z(x) = anxn+…+a1x+a0 N(x) = bmxm+…+b1x+b0 |
a ≠ Nullstellen von N(x) a = ∞ a = – ∞ a = eine der Nullstellen von N(x) |
lim f(x) = Z(a) / N(a) lim f(x)=sgn(an/bm)·lim(xn-m) lim f(x)=sgn(an/bm)·lim(xn-m) lim f(x) = eine Zahl oder ∞ oder – ∞ |