Herleitung der pq Formel

In diesem Beitrag geht es um die Herleitung der bekannten pq Formel, mit der man quadratische Gleichungen in Normalform lösen kann.

Bei der Berechnung der Nullstellen einer quadratischen Funktion der Form
f(x) = x2 + px + q stößt man auf die Aufgabe die quadratische Gleichung
0 = x2 + px + q zu lösen.

Schon an der einfachen Gleichung x2 = a sieht man, dass solche quadratischen Gleichungen maximal zwei Lösungen haben können, nämlich (falls a > 0):

x_1 = +\sqrt{a}   ,   x_2 = -\sqrt{a}

wofür man kurz x_{1,2} = \pm \sqrt{a} schreibt.

Durch eine Reihe von Umformschritten gewinnt man aus 0 = x2 + px + q die als pq Formel bekannte Lösungsformel:

x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{ \frac{p^2}{4} - q }

Die pq Formel lässt sich z.B. auf diesem Wege herleiten:
 

0 = x2 + px + q
 
p umschreiben zu 2 · p/2 →
 
0 = x2 + 2 · p/2 · x + q
 
+ p2/4 und – p2/4 ergänzen →
 
0 = x2 + 2 · p/2 · x + p2/4 + q – p2/4
 
x2 + 2 · p/2 · x + p2/4 umschreiben zu (x + p/2)2 →
 
0 = (x + p/2)2 + q – p2/4
 
q – p2/4 auf die andere Seite des Gleichheitszeichens schaffen →
 
(x + p/2)2 = p2/4 – q
 
Wurzel ziehen (aus x wird formal x1,2) →
 
x1,2 + p/2 = ± √(p2/4 – q)
 
p/2 auf die andere Seite des Gleichheitszeichens schaffen →
 
x1,2 = -p/2 ± √(p2/4 – q)
 
und fertig ist die pq Formel.

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