Höhensatz des Euklid

In jedem rechtwinkligen Dreieck bezeichnet man die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt als Hypotenuse und die beiden anderen Seiten als Katheten. Ist c die Hypotenuse, sind a, b die Katheten und fällt man die Höhe h vom Punkt C auf die Seite c, so wird c aufgeteilt in zwei Hypotenusenabschnitte p und q. Der sogenannte Höhensatz des Euklid lautet dann

h^2 = p \cdot q Rechtwinkliges Dreieck

Das Dreieck ABC wird durch die Höhe h zerlegt in zwei rechtwinklige Teildreiecke, jeweils ruhend auf einem der Hypotenusenabschnitte p bzw. q. Hat man nur Informationen über p und q, so lässt sich nun die Höhe im ‚großen‘ Dreieck ermitteln. Hat man dagegen Informationen über h und einen der Abschnitte, so kann man den jeweils anderen Abschnitt berechnen und aus beiden Abschnitten schließlich die Grundseite von Dreieck ABC (da c=p+q):

geg.:  p,q
ges.:  h
Lsg.: h^2 = p \cdot q
h = \sqrt{p \cdot q}
geg.:  p=1\frac{4}{5}cm,q=3\frac{1}{5}cm
ges.:  h
Lsg.: h^2 = 1\frac{4}{5}cm \cdot 3\frac{1}{5}cm
h = \sqrt{\frac{144}{25}cm^2} = \frac{12}{5}cm = 2\frac{2}{5}cm
geg.:  h,p
ges.:  q
Lsg.: q = \frac{h^2}{p}
geg.:  h=2\frac{2}{5}cm,p=1\frac{4}{5}cm
ges.:  q
Lsg.: q = \frac{(2\frac{2}{5}cm)^2}{1\frac{4}{5}cm}
q = \frac{16}{5}cm = 3\frac{1}{5}cm
geg.:  h,q
ges.:  p
Lsg.: p = \frac{h^2}{q}
geg.:  h=2\frac{2}{5}cm,q=3\frac{1}{5}cm
ges.:  p
Lsg.: p = \frac{(2\frac{2}{5}cm)^2}{3\frac{1}{5}cm}
p = \frac{9}{5}cm = 1\frac{4}{5}cm

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