Satz des Pythagoras – Textaufgabe

In diesem Beitrag befasse ich mich mal mit einer typischen Textaufgabe, in der man zur Bestimmung der Lösung den Satz des Pythagoras verwenden muss. Die Textaufgabe lautet:

Ein Sturm hat eine Fichte in einer Höhe von 5,50 m so abgeknickt, dass ihre Spitze 12,50 m vom Stamm entfernt den Waldboden berührt. Wie hoch war die Fichte?
 

Lösung

Um mehr Übersicht zu bekommen und um den Einstieg in die Lösung zu finden, fertigt man üblicherweise eine Skizze an. Dazu schaut man nochmal über den Text und versucht zu erkennen, welche Dinge/Begriffe/Zahlen für die Lösung benötigt werden:

  • abgeknickter Baum
  • ein Teil steckt noch in Erde, ist 5,50 m lang
  • abgeknicktes Teil: ein Ende am Boden, anderes Ende am Stamm, Länge nicht bekannt
  • Entfernung (am Boden) zwischen Spitze und Stamm ist 12,50 m

Eine Skizze zu diesen Fakten könnte in etwa so aussehen:

Textaufgabe Pythagoras

Textaufgabe Pythagoras

 
Der rosa Kreis markiert die Knick-Stelle, der blaue Kreis die Stelle, wo die Baumspitze die Erde berührt. Weiterhin gibt es einen rechten Winkel und die Längen der dort anliegenden Katheten sind bekannt.

Man erkennt: um zu bestimmen, wie hoch die Fichte einmal war, muss man zunächst die Seite die dem rechten Winkel gegenüberliegt – also die Hypotenuse in diesem rechtwinkligen Dreieck – berechnen. Wir können den Satz des Pythagoras direkt verwenden, d.h. ohne die Formel umstellen zu müssen:

c^2 = a^2 + b^2

c = \sqrt{a^2 + b^2} c = \sqrt{12,5^2 + 5,5^2} \approx 13,7

 

Damit hatte die Fichte ursprünglich eine Höhe von 13,7 m + 5,50 m = 19,2 m.