Arithmetische Folgen

Eine Zahlenfolge (an) heißt arithmetische Folge, wenn die Differenz zweier beliebiger benachbarter Folgeglieder stets gleich einer konstanen Zahl d ist:
an+1 – an = d .

Beispiel:
Die Folge (an) mit an = 4n + 9 ist eine arithmetische Folge:
an+1 – an = 4(n+1) + 9 – 4n – 9 = 4

Arithmetische Folgen besitzen eine rekursive und eine explizite Darstellung.

Rekursive Darstellung einer arithmetischen Folge:
a1 (Startwert),   an+1 = an + d

Explizite Darstellung einer arithmetischen Folge:
an = a1 + (n-1)·d

Beispiel:
Gesucht ist die rekursive und explizite Darstellung der durch a1 = 5 und d = -3 gegebenen arithmetischen Folge.

Lösung:
Es ist

a1 = 5 , an+1 = an – 3

die rekursive und
an = 5 + (n-1)(-3)

die explizite Darstellung dieser arithmetischen Folge. Letztere vereinfacht man natürlich noch zu
an = 5 – 3n + 3 = -3n + 8 .

Beispiel:
Gegeben sind die beiden Folgeglieder a5 = 17 und a7 = 25 einer arithmetischen Folge.
Gesucht ist das n-te Folgeglied – also das Bildungsgesetzt dieser Folge.

Lösung:
Aus der expliziten Darstellung arithmetischer Folgen folgt

a7 = a5 + 2·d

bzw.
a7 – a5 = 2·d .

Man erhält also
8 = 2·d , d.h. d = 4 .

Für a1 gilt
a1 = a5 – 4·d

also
a1 = 17 – 4·4 = 1 .

Damit gilt
an = 1 + (n-1)·4 = 1 + 4n – 4 = 4n – 3 .