Geometrische Folgen

Eine Zahlenfolge (an) heißt geometrische Folge, wenn der Quotient zweier beliebiger benachbarter Folgeglieder stets gleich einer konstanen Zahl q ist:
an+1 / an = q .

Beispiel:
Die Folge (an) mit an = 2·3n ist eine geometrische Folge:
an+1 / an = 2·3n+1 / 2·3n = 3

Geometrische Folgen besitzen eine rekursive und eine explizite Darstellung.

Rekursive Darstellung einer geometrischen Folge:
a1 (Startwert),   an+1 = an · q

Explizite Darstellung einer geometrischen Folge:
an = a1 · qn-1

Beispiel:
Gesucht ist die rekursive und explizite Darstellung der durch a1 = 24 und q = 2 gegebenen geometrischen Folge.

Lösung:
Es ist

a1 = 24 , an+1 = an · 2

die rekursive und
an = 24 · 2n-1

die explizite Darstellung dieser geometrischen Folge.
Letztere könnte man noch umformen zu
an = 3 · 8 · 2n-1 = 3 · 23 · 2n-1 = 3 · 2n+2 .

Beispiel:
Gegeben sind die beiden Folgeglieder a3 = 200 und a6 = 5400 einer geometrischen Folge.
Gesucht ist das n-te Folgeglied – also das Bildungsgesetzt dieser Folge.

Lösung:
Aus der expliziten Darstellung geometrischer Folgen folgt

a6 = a3 · q3

bzw.
q3 = a6 / a3 .

Man erhält also
q3 = 27, d.h. q = 3 .

Für a1 gilt
a1 = a3 / q2

also
a1 = 200 / 9 .

Damit gilt
an = 200/9 · 3n-1

und die ersten Glieder dieser geometrischen Folge sind

200/9 , 200/3 , 200 , 600 , 1800 , 5400 , … .

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