Monotone Folgen

Eine Folge (an) heißt monoton wachsend, wenn für alle n aus IN gilt:
an ≤ an+1.

Eine Folge (an) heißt streng monoton wachsend, wenn für alle n aus IN gilt:
an < an+1.

Eine Folge (an) heißt monoton fallend, wenn für alle n aus IN gilt:
an ≥ an+1.

Eine Folge (an) heißt streng monoton fallend, wenn für alle n aus IN gilt:
an > an+1.

Beispiel:
Wir untersuchen die Folge (an) mit a_n = \cfrac{1}{n^2} auf Monotonie.

Ein Blick auf die ersten Folgeglieder lässt vermuten, dass diese Folge streng monoton fallend ist: 1 , 1/4 , 1/9 , 1/16 , …

Nachzuweisen ist an > an+1 für jedes n und dies gelingt mit Äquivalenzumformungen:

a_{n} > a_{n+1} Bedingung für streng monotones Fallen
⇔ a_{n} - a_{n+1} > 0
⇔ \cfrac{1}{n^2} - \cfrac{1}{(n+1)^2} > 0 | \cdot n^2 (n+1)^2
⇔ (n+1)^2 - n^2 > 0
⇔ n^2 + 2n + 1 - n^2 > 0
⇔ 2n + 1 > 0 wahre Aussage

Da die letzte Aussage für jedes natürliche n wahr ist, muss auch die erste Aussage wahr sein und damit ist die Folge als streng monoton fallend nachgewiesen ◊

Beispiel:
Wir untersuchen die Folge (an) mit a_n = 2 - \cfrac{1}{n} auf Monotonie.

Die ersten Folgeglieder sind 1 , 2-1/2 , 2-1/3 , 2-1/4 , … und man vermutet, dass diese Folge streng monoton wachsend ist.

Nachzuweisen ist an+1 > an für jedes n und dies gelingt mit Äquivalenzumformungen:

a_{n+1} > a_{n} Bedingung für streng monotones Wachsen
⇔ a_{n+1} - a_{n} > 0
⇔ 2 - \cfrac{1}{n+1} - 2 + \cfrac{1}{n} > 0
⇔ - \cfrac{1}{n+1} + \cfrac{1}{n} > 0
⇔ \cfrac{1}{n} - \cfrac{1}{n+1} > 0 | \cdot n (n+1)
⇔ n + 1 - n > 0
⇔ 1 > 0 wahre Aussage

Da die letzte Aussage immer wahr ist, muss auch die erste Aussage wahr sein und damit ist die Folge als streng monoton wachsend nachgewiesen ◊

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